Номер 3, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Функционально-графические методы решения уравнений.

Функционально-графический метод является одним из способов решения уравнений, особенно тех, которые сложно или невозможно решить аналитически. Он основан на использовании свойств функций и их графиков.

Суть метода

Основная идея метода заключается в следующем: чтобы решить уравнение вида $f(x) = g(x)$, нужно построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться корнями исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Частным случаем является решение уравнения вида $h(x) = 0$. В этом случае строится график функции $y = h(x)$, а корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс (осью $Ox$), так как ось $Ox$ задается уравнением $y = 0$.

Алгоритм применения метода

1. Привести исходное уравнение к виду $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — функции, графики которых легко построить.
2. Ввести две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. Построить графики этих функций в одной прямоугольной системе координат.
4. Найти точки пересечения графиков.
5. Определить абсциссы ($x$) этих точек. Полученные значения и будут корнями уравнения.
6. Если точное значение корня по графику определить сложно, можно найти его приближенное значение. Если предполагается целый или рациональный корень, рекомендуется выполнить проверку, подставив его в исходное уравнение.

Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$

Решение:
1. Уравнение уже представлено в виде $f(x) = g(x)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = 2 - x$.
2. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.
- $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения $x \ge 0$. - $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например: если $x=0$, то $y=2$; если $x=2$, то $y=0$. Проведем прямую через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
3. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке.

4. Абсцисса точки пересечения, судя по графику, равна 1.
5. Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2 - 1$ $1 = 1$ Равенство верное, значит, $x=1$ является корнем уравнения.
Ответ: $x=1$

Пример 2: Решить уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$

Решение:
1. Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$. Перенесем члены $3x - 2$ в правую часть: $x^3 = 3x - 2$.
2. Рассмотрим две функции: $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 3x - 2$ (прямая линия).
3. Построим их графики в одной системе координат.
- $y = x^3$ проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. - $y = 3x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(1, 1)$.
4. Из графика видно, что прямая касается кубической параболы в точке с абсциссой $x=1$ и пересекает ее в точке с абсциссой $x=-2$.

5. Проверим найденные корни подстановкой в исходное уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$.
- Для $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Верно. - Для $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Верно.
Таким образом, уравнение имеет два различных корня. (Касание графика означает наличие кратного корня, что можно проверить алгебраически: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$).
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуально представить решение и понять поведение функций.
• Определение количества корней: даже если точное значение корней найти трудно, графический метод позволяет определить их количество.
• Универсальность: метод применим для решения уравнений, содержащих функции разных типов (алгебраические, тригонометрические, логарифмические и т.д.), например, $x = \cos(x)$.

Недостатки:

• Неточность: как правило, метод дает приближенные значения корней. Точность зависит от аккуратности построения и масштаба графика.
• Трудоемкость: построение точных графиков сложных функций может быть затруднительным без использования специальных программных средств.
• Риск потери корней: можно не заметить точки пересечения, если они находятся далеко от начала координат или если графики пересекаются под очень малым углом.