Номер 4, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Какова область значений функции $y = \sqrt[3]{x}$?

4. Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$. Нам нужно найти область значений для функции $y = \sqrt[3]{x}$.
Для нахождения области значений (обозначается как $E(y)$) полезно сначала определить область определения функции (обозначается как $D(y)$).
Функция кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$ определена для любого действительного числа $x$, так как кубический корень можно извлечь из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, $\sqrt[3]{27} = 3$, $\sqrt[3]{-27} = -3$, $\sqrt[3]{0} = 0$. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Теперь определим, какие значения может принимать $y$. Рассмотрим функцию, обратную данной: чтобы выразить $x$ через $y$, нужно возвести обе части уравнения $y = \sqrt[3]{x}$ в третью степень. Получим $x = y^3$.
В функции $x = y^3$ переменная $y$ может принимать абсолютно любое действительное значение от $-\infty$ до $+\infty$. Какое бы число $y$ мы ни взяли, мы всегда можем вычислить соответствующее значение $x$. Это означает, что область значений исходной функции $y = \sqrt[3]{x}$ является множеством всех действительных чисел.
Можно также проанализировать поведение функции на бесконечности:
- Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y = \sqrt[3]{x}$ также стремится к $+\infty$.
- Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y = \sqrt[3]{x}$ также стремится к $-\infty$.
Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на всей своей области определения и ее значения не ограничены ни сверху, ни снизу, она принимает все действительные значения.
Следовательно, область значений функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.