Номер 12, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = x^{-2n}$, $n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать поведение функции $y = x^{-2n}$, где $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, показатель $2n$ является положительным четным числом. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Для исследования функции на монотонность (возрастание или убывание) найдем ее производную:

$y' = (x^{-2n})' = -2n \cdot x^{-2n-1} = -\frac{2n}{x^{2n+1}}$

Теперь определим знак производной на интервалах области определения.

1. При $x > 0$ (интервал $(0, +\infty)$, соответствующий в задаче условию $x \ge 0$):

Знаменатель $x^{2n+1}$ будет положительным, так как положительное число в любой степени положительно. Числитель $-2n$ отрицателен ($n \in \mathbb{N}$).

$y' = \frac{-2n}{x^{2n+1}} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} < 0$

Поскольку производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.

2. При $x < 0$ (интервал $(-\infty, 0)$, соответствующий в задаче условию $x \le 0$):

Знаменатель $x^{2n+1}$ будет отрицательным, так как отрицательное число в нечетной степени ($2n+1$ всегда нечетно) отрицательно. Числитель $-2n$ также отрицателен.

$y' = \frac{-2n}{x^{2n+1}} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} > 0$

Поскольку производная положительна, функция на этом интервале возрастает.

Итак, функция $y = x^{-2n}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$. Проверим предложенные утверждения.

а) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно. Наш анализ показал, что функция убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$.

Ответ: неверно.

б) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно, так как при $x > 0$ функция убывает.

Ответ: неверно.

в) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$

Решение: Это утверждение неверно, так как при $x < 0$ функция возрастает.

Ответ: неверно.

г) функция $y = x^{-2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?

Решение: Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Функция убывает на интервале $(0, +\infty)$ (условие $x \ge 0$) и возрастает на интервале $(-\infty, 0)$ (условие $x \le 0$).

Ответ: верно.