Номер 8, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Какова область значений функции $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от переменной $x$ и параметра $n$.

1. Анализ показателя степени
Параметр $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$. Рассмотрим, какие значения принимает выражение $2n-1$:

• При $n=1$, показатель равен $-(2 \cdot 1 - 1) = -1$. Функция: $y=x^{-1} = \frac{1}{x}$.
• При $n=2$, показатель равен $-(2 \cdot 2 - 1) = -3$. Функция: $y=x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
• При $n=3$, показатель равен $-(2 \cdot 3 - 1) = -5$. Функция: $y=x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

В общем случае, выражение $2n-1$ представляет собой любое положительное нечетное число. Обозначим это число как $k = 2n-1$, где $k \in \{1, 3, 5, \ldots\}$.

2. Анализ функции
Таким образом, исходную функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^k}$, где $k$ — любое положительное нечетное целое число.
Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^k = 0$ только при $x=0$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Теперь найдем множество значений, которые может принимать $y$.

• Пусть $x > 0$. Тогда $x^k$ также будет положительным числом ($x^k > 0$), так как любое положительное число в любой степени положительно. Когда $x$ пробегает все значения от $0$ до $+\infty$, $x^k$ также пробегает все значения от $0$ до $+\infty$. Тогда $y = \frac{1}{x^k}$ будет принимать все значения от $+\infty$ до $0$. Таким образом, для $x>0$ значения $y$ покрывают интервал $(0, +\infty)$.
• Пусть $x < 0$. Так как $k$ — нечетное число, то $x^k$ будет отрицательным числом ($x^k < 0$). Когда $x$ пробегает все значения от $-\infty$ до $0$, $x^k$ также пробегает все значения от $-\infty$ до $0$. Тогда $y = \frac{1}{x^k}$ будет принимать все значения от $0$ до $-\infty$. Таким образом, для $x<0$ значения $y$ покрывают интервал $(-\infty, 0)$.

Значение $y=0$ не достигается, так как для этого необходимо, чтобы дробь $\frac{1}{x^k}$ была равна нулю, что невозможно, поскольку ее числитель равен 1.

3. Вывод
Объединяя оба случая, мы заключаем, что функция может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, но не может быть равна нулю.

Ответ: Область значений функции — это множество всех действительных чисел, кроме нуля: $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.