Номер 3, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Обладает ли график функции $y = x^{-2n}$, $n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Чтобы определить наличие и вид симметрии у графика функции $y = x^{-2n}$ при $n \in N$, необходимо исследовать данную функцию на четность.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-2n}$.

1. Найдем область определения функции. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x^{2n} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно точки $x=0$.

2. Проверим выполнение условия четности. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^{-2n}$.

Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \in N$), показатель степени $2n$ всегда будет четным натуральным числом (например, 2, 4, 6, ...). Для любой четной степени $k=2n$ и любого $x \neq 0$ выполняется свойство: $(-x)^k = x^k$.

Используя это свойство, преобразуем выражение для $f(-x)$:$f(-x) = (-x)^{-2n} = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = x^{-2n}$.

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{-2n} = f(x)$.

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция $y = x^{-2n}$ является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Да, график функции обладает симметрией. Он симметричен относительно оси ординат (оси OY).