Номер 9, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;

б) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Показатель степени $2n$ при любом натуральном $n$ является положительным четным числом (2, 4, 6 и т.д.). Такие степенные функции являются четными, то есть $y(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = y(x)$, и их график симметричен относительно оси ординат.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную:

$y'(x) = (x^{2n})' = 2n \cdot x^{2n-1}$

Знак производной определяет характер монотонности функции. Так как $n \in \mathbb{N}$, множитель $2n$ всегда положителен. Следовательно, знак производной $y'(x)$ зависит только от знака множителя $x^{2n-1}$.

Показатель степени $2n-1$ является нечетным числом (1, 3, 5 и т.д.). Поэтому знак выражения $x^{2n-1}$ совпадает со знаком $x$.

• Если $x > 0$, то $x^{2n-1} > 0$, и следовательно, $y'(x) > 0$. Это означает, что функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Если $x < 0$, то $x^{2n-1} < 0$, и следовательно, $y'(x) < 0$. Это означает, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Итак, мы установили, что функция $y = x^{2n}$ убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Функция возрастает для неотрицательных значений $x$ и убывает для неположительных значений $x$.
Ответ: Утверждение верно.

б) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно, так как при $x \le 0$ функция убывает, а не возрастает.
Ответ: Утверждение неверно.

в) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно, так как при $x \ge 0$ функция возрастает, а не убывает.
Ответ: Утверждение неверно.

г) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?
Это утверждение неверно. В нем перепутаны промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$.
Ответ: Утверждение неверно.