Номер 2, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Покажите схематически, как выглядит график функции

$y = x^{-(2n-1)}, n \in N.$

Рассмотрим заданную функцию $y = x^{-(2n-1)}$, где $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Анализ показателя степени и вида функции

Показатель степени в данной функции равен $-(2n-1)$. Так как $n$ принимает значения $1, 2, 3, \ldots$, выражение $2n-1$ будет последовательно принимать значения $2(1)-1=1$, $2(2)-1=3$, $2(3)-1=5$, и так далее. То есть, $2n-1$ — это любое положительное нечетное целое число. Следовательно, показатель степени $-(2n-1)$ — это любое отрицательное нечетное целое число ($-1, -3, -5, \ldots$). Функцию можно переписать в виде дроби:

$y = \frac{1}{x^{2n-1}}$

Это семейство степенных функций с нечетным натуральным показателем в знаменателе. Частными случаями являются $y=1/x$ (при $n=1$) и $y=1/x^3$ (при $n=2$). Все функции этого семейства имеют схожий вид графика.

Свойства функции и построение графика

Все функции вида $y = \frac{1}{x^{k}}$, где $k$ — положительное нечетное число ($k=2n-1$), обладают общими свойствами, которые определяют вид их графика:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Симметрия: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}} = \frac{1}{-x^{2n-1}} = -y(x)$, поскольку $2n-1$ — нечетное число. График функции симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты:
  • Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to 0^-$ значение $y \to -\infty$.
  • Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой. При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ значение $y$ стремится к нулю.
• Ключевые точки: Независимо от значения $n$, график всегда проходит через точки $(1, 1)$ (так как $1^{-(2n-1)}=1$) и $(-1, -1)$ (так как $(-1)^{-(2n-1)} = \frac{1}{(-1)^{2n-1}} = \frac{1}{-1} = -1$).
• Монотонность: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = -(2n-1)x^{-2n} = -\frac{2n-1}{x^{2n}}$ всегда отрицательна.

Схематический график

Основываясь на этих свойствах, можно построить схематический график. Он будет состоять из двух ветвей, которые располагаются в I и III координатных четвертях. Эта форма графика известна как гипербола. С увеличением $n$ ветви графика становятся "круче" в интервале $(-1, 1)$ и сильнее "прижимаются" к оси $x$ при $|x|>1$, но общая форма, симметрия и расположение асимптот не меняются.

Схематическое изображение графика:

Ответ: График функции $y = x^{-(2n-1)}$ при $n \in \mathbb{N}$ представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах. График симметричен относительно начала координат (является нечетной функцией), имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Все графики этого семейства проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Схематически он выглядит как гипербола.