Страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Покажите схематически, как выглядит график функции

$y = x^{-2n}, n \in N$

1.

Рассмотрим функцию $y = x^{-2n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Функцию можно переписать в виде дроби: $y = \frac{1}{x^{2n}}$.

Для того чтобы схематически построить график, проанализируем основные свойства этой функции.

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x^{2n} \neq 0$, что выполняется при $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = y(x)$, так как показатель степени $2n$ является четным числом для любого натурального $n$. Следовательно, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Область значений: Поскольку $x^{2n} > 0$ для любого $x \neq 0$ (возведение в четную степень дает положительный результат), то и значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ всегда будет строго больше нуля. Таким образом, область значений функции: $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что весь график расположен в верхней полуплоскости (над осью OX).
• Асимптоты:
  • При $x \to 0$ (справа или слева), знаменатель $x^{2n} \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому значение дроби $y \to +\infty$. Это означает, что прямая $x = 0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
  • При $x \to \pm\infty$, знаменатель $x^{2n} \to +\infty$, поэтому значение дроби $y \to 0$. Это означает, что прямая $y = 0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.
• Контрольные точки:
  • При $x=1$, получаем $y = \frac{1}{1^{2n}} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
  • При $x=-1$, получаем $y = \frac{1}{(-1)^{2n}} = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
  Это означает, что все графики функций вида $y = x^{-2n}$ проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
• Влияние параметра n: С ростом натурального числа $n$ показатель степени $2n$ увеличивается.
  • Если $|x| > 1$ (например, $x=2$), то чем больше $n$, тем больше $x^{2n}$ и тем меньше $y$. График будет "прижиматься" к оси OX быстрее.
  • Если $0 < |x| < 1$ (например, $x=0.5$), то чем больше $n$, тем меньше $x^{2n}$ и тем больше $y$. График будет "прижиматься" к оси OY быстрее.

Обобщая все свойства, получаем, что график функции представляет собой две ветви, расположенные в первом и втором координатных углах. Они симметричны относительно оси OY, проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ и имеют в качестве асимптот оси координат.

Ниже представлен схематический график, на котором для примера и сравнения показаны функции для $n=1$ ($y=x^{-2}$) и $n=2$ ($y=x^{-4}$).

Ответ: График функции $y = x^{-2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика: ось OY ($x=0$) — вертикальной, а ось OX ($y=0$) — горизонтальной. Все графики данного семейства проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. С увеличением $n$ ветви графика становятся круче в интервале $(-1, 1)$ (кроме $x=0$) и более пологими при $|x|>1$, как показано на схематическом графике выше.

2. Покажите схематически, как выглядит график функции

$y = x^{-(2n-1)}, n \in N.$

Рассмотрим заданную функцию $y = x^{-(2n-1)}$, где $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Анализ показателя степени и вида функции

Показатель степени в данной функции равен $-(2n-1)$. Так как $n$ принимает значения $1, 2, 3, \ldots$, выражение $2n-1$ будет последовательно принимать значения $2(1)-1=1$, $2(2)-1=3$, $2(3)-1=5$, и так далее. То есть, $2n-1$ — это любое положительное нечетное целое число. Следовательно, показатель степени $-(2n-1)$ — это любое отрицательное нечетное целое число ($-1, -3, -5, \ldots$). Функцию можно переписать в виде дроби:

$y = \frac{1}{x^{2n-1}}$

Это семейство степенных функций с нечетным натуральным показателем в знаменателе. Частными случаями являются $y=1/x$ (при $n=1$) и $y=1/x^3$ (при $n=2$). Все функции этого семейства имеют схожий вид графика.

Свойства функции и построение графика

Все функции вида $y = \frac{1}{x^{k}}$, где $k$ — положительное нечетное число ($k=2n-1$), обладают общими свойствами, которые определяют вид их графика:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Симметрия: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}} = \frac{1}{-x^{2n-1}} = -y(x)$, поскольку $2n-1$ — нечетное число. График функции симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты:
  • Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to 0^-$ значение $y \to -\infty$.
  • Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой. При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ значение $y$ стремится к нулю.
• Ключевые точки: Независимо от значения $n$, график всегда проходит через точки $(1, 1)$ (так как $1^{-(2n-1)}=1$) и $(-1, -1)$ (так как $(-1)^{-(2n-1)} = \frac{1}{(-1)^{2n-1}} = \frac{1}{-1} = -1$).
• Монотонность: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = -(2n-1)x^{-2n} = -\frac{2n-1}{x^{2n}}$ всегда отрицательна.

Схематический график

Основываясь на этих свойствах, можно построить схематический график. Он будет состоять из двух ветвей, которые располагаются в I и III координатных четвертях. Эта форма графика известна как гипербола. С увеличением $n$ ветви графика становятся "круче" в интервале $(-1, 1)$ и сильнее "прижимаются" к оси $x$ при $|x|>1$, но общая форма, симметрия и расположение асимптот не меняются.

Схематическое изображение графика:

Ответ: График функции $y = x^{-(2n-1)}$ при $n \in \mathbb{N}$ представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах. График симметричен относительно начала координат (является нечетной функцией), имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Все графики этого семейства проходят через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Схематически он выглядит как гипербола.

20.1 Из цифр 4, 6, 7 случайным образом составляют трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что получится:

а) наибольшее из всех таких чисел;

б) число, у которого вторая цифра 7;

в) число, заканчивающееся на 6;

г) число, кратное 5?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Мы составляем трехзначные числа из трех различных цифр (4, 6, 7) без повторения. Количество таких чисел равно числу перестановок из 3 элементов.

На первую позицию (сотни) можно поставить любую из 3 цифр.

На вторую позицию (десятки) — любую из 2 оставшихся цифр.

На третью позицию (единицы) — 1 оставшуюся цифру.

Общее число возможных исходов $N$ равно: $N = 3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$.

Все возможные числа: 467, 476, 647, 674, 746, 764.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) наибольшее из всех таких чисел;

Наибольшее число, которое можно составить из цифр 4, 6, 7, получается при их расположении в порядке убывания. Это число 764. Такое число является единственным. Следовательно, количество благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность того, что получится наибольшее число, равна: $P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) число, у которого вторая цифра 7;

Найдем количество чисел, у которых вторая цифра (цифра десятков) равна 7. Зафиксируем цифру 7 на втором месте: _ 7 _.

На первое место (сотни) можно поставить одну из оставшихся двух цифр (4 или 6) — 2 варианта.

На третье место (единицы) можно поставить оставшуюся одну цифру — 1 вариант.

Количество благоприятных исходов $m = 2 \times 1 = 2$. Это числа 476 и 674.

Вероятность этого события: $P(Б) = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) число, заканчивающееся на 6;

Найдем количество чисел, которые заканчиваются на 6. Зафиксируем цифру 6 на последнем месте: _ _ 6.

На первое место (сотни) можно поставить одну из оставшихся двух цифр (4 или 7) — 2 варианта.

На второе место (десятки) можно поставить оставшуюся одну цифру — 1 вариант.

Количество благоприятных исходов $m = 2 \times 1 = 2$. Это числа 476 и 746.

Вероятность этого события: $P(В) = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) число, кратное 5?

Число кратно 5, если его последняя цифра (цифра единиц) равна 0 или 5.

В исходном наборе цифр {4, 6, 7} нет ни 0, ни 5. Следовательно, невозможно составить число, которое заканчивается на 0 или 5.

Количество благоприятных исходов $m=0$.

Вероятность этого события: $P(Г) = \frac{m}{N} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: $0$.

20.2 Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что:

а) в последний раз выпадет решка;

б) ни разу не выпадет орёл;

в) число выпадений орла в два раза больше числа выпадений решки;

г) при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при троекратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». При каждом подбрасывании есть два равновероятных исхода. Так как монету подбрасывают три раза, общее число всех возможных исходов (элементарных событий) равно $N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные комбинации (пространство элементарных исходов):

• ООО (три орла)
• ООР (два орла, затем решка)
• ОРО (орёл, решка, орёл)
• ОРР (орёл, затем две решки)
• РОО (решка, затем два орла)
• РОР (решка, орёл, решка)
• РРО (две решки, затем орёл)
• РРР (три решки)

Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов, а $N$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) в последний раз выпадет решка;
Найдём количество исходов, при которых третий результат — решка («Р»). Это следующие комбинации: ООР, ОРР, РОР, РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) ни разу не выпадет орёл;
Это событие означает, что все три раза выпала решка. Этому условию соответствует только одна комбинация: РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) число выпадений орла в два раза больше числа выпадений решки;
Пусть $k_О$ — число выпадений орла, а $k_Р$ — число выпадений решки. По условию, $k_О = 2k_Р$. Так как всего было 3 подбрасывания, то $k_О + k_Р = 3$.
Подставим первое уравнение во второе: $2k_Р + k_Р = 3$, откуда $3k_Р = 3$, и $k_Р = 1$. Следовательно, $k_О = 2$.
Значит, нам нужно найти исходы, в которых орёл выпал 2 раза, а решка — 1 раз. Это следующие комбинации: ООР, ОРО, РОО.
Число благоприятствующих исходов $m = 3$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

г) при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?
Это означает, что первые два результата — это либо «ОО», либо «РР».
Исходы, начинающиеся с «ОО»: ООО, ООР.
Исходы, начинающиеся с «РР»: РРО, РРР.
Всего благоприятствующих исходов: ООО, ООР, РРО, РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

20.3 Случайным образом выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) оканчивается нулём;

б) состоит из одинаковых цифр;

в) больше 27 и меньше 46;

г) не является кубом другого целого числа.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Их общее количество $N$ можно найти по формуле: $N = 99 - 10 + 1 = 90$. Это общее число всех возможных элементарных исходов.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) оканчивается нулём;
Найдём количество двузначных чисел, которые оканчиваются на ноль. Это числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Всего таких чисел 9. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 9$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число оканчивается нулём, равна: $P(A) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

б) состоит из одинаковых цифр;
Найдём количество двузначных чисел, которые состоят из одинаковых цифр. Это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Всего таких чисел 9. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 9$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число состоит из одинаковых цифр, равна: $P(B) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

в) больше 27 и меньше 46;
Найдём количество двузначных чисел, которые больше 27 и меньше 46. Это все целые числа в интервале $(27, 46)$, то есть числа от 28 до 45 включительно. Количество таких чисел: $m = 45 - 28 + 1 = 18$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число больше 27 и меньше 46, равна: $P(C) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не является кубом другого целого числа.
Сначала найдём количество двузначных чисел, которые являются кубами целых чисел. Для этого будем возводить в куб целые числа, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел. $1^3 = 1$ (не двузначное) $2^3 = 8$ (не двузначное) $3^3 = 27$ (двузначное) $4^3 = 64$ (двузначное) $5^3 = 125$ (трёхзначное) Следовательно, среди двузначных чисел только два (27 и 64) являются кубами целых чисел. Событие, которое нас интересует, — "число не является кубом". Это событие, противоположное событию "число является кубом". Количество благоприятных исходов (чисел, которые не являются кубами) равно общему количеству двузначных чисел минус количество чисел, которые являются кубами: $m = 90 - 2 = 88$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число не является кубом целого числа, равна: $P(D) = \frac{88}{90} = \frac{44}{45}$.
Ответ: $\frac{44}{45}$

20.4 Имеются четыре кандидата: Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович и Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что:

а) будет выбран Владимир Венедиктович;

б) отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата;

в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами;

г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Имеется 4 кандидата, из которых случайным образом выбирают двоих. Порядок выбора не важен, поэтому общее число исходов $N$ равно числу сочетаний из 4 по 2:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 равновероятных пар кандидатов. Обозначим кандидатов для удобства: К1 – Владимир Владимирович, К2 – Василий Всеволодович, К3 – Вадим Владимирович, К4 – Владимир Венедиктович.

а) будет выбран Владимир Венедиктович;

Событие А заключается в том, что в выбранной паре окажется Владимир Венедиктович (К4). Это произойдет, если он будет выбран в паре с любым из трех других кандидатов (К1, К2 или К3). Следовательно, благоприятными исходами являются пары: {К1, К4}, {К2, К4}, {К3, К4}. Число благоприятных исходов $m_a = 3$. Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата;

Событие B заключается в том, что у одного из выбранных кандидатов имя совпадает с именем его отца. Проанализируем данные кандидатов: только у Владимира Владимировича (К1) имя "Владимир" совпадает с именем отца (отчество "Владимирович"). У остальных кандидатов имена и имена отцов различаются. Таким образом, событие B произойдет, если в выбранной паре будет Владимир Владимирович (К1). Благоприятными исходами являются пары, содержащие К1: {К1, К2}, {К1, К3}, {К1, К4}. Число благоприятных исходов $m_b = 3$. Вероятность события B:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами;

Событие C заключается в том, что у обоих выбранных кандидатов одинаковые имена. Выпишем имена кандидатов: Владимир (К1), Василий (К2), Вадим (К3), Владимир (К4). Одинаковые имена только у Владимира Владимировича (К1) и Владимира Венедиктовича (К4). Следовательно, событие C произойдет только если будет выбрана пара {К1, К4}. Существует только один такой благоприятный исход, поэтому $m_c = 1$. Вероятность события C:

$P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Событие D заключается в том, что у выбранных кандидатов разные отчества. Выпишем отчества: Владимирович (К1), Всеволодович (К2), Владимирович (К3), Венедиктович (К4). Одинаковые отчества имеют Владимир Владимирович (К1) и Вадим Владимирович (К3). Проще найти вероятность противоположного события D' — "будут выбраны кандидаты с одинаковыми отчествами". Это событие наступает только при выборе пары {К1, К3}. Число благоприятных исходов для D' равно 1, и его вероятность $P(D') = \frac{1}{6}$. Вероятность события D, являющегося противоположным к D', равна:

$P(D) = 1 - P(D') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

20.5 Случайным образом выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что:

а) его цифры различаются больше чем на 8;

б) его цифры различаются больше чем на 7;

в) при перестановке цифр местами получится двузначное число, меньшее исходного;

г) оно ближе к 27, чем к 72.

Вероятность случайного события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче мы выбираем случайное двузначное число. Двузначными являются целые числа от 10 до 99. Общее количество таких чисел $n$ составляет $99 - 10 + 1 = 90$. Это и будет общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) его цифры различаются больше чем на 8;

Пусть двузначное число представлено как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Условие "его цифры различаются больше чем на 8" можно записать в виде неравенства $|a - b| > 8$.

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, максимальная возможная разность между ними составляет $9 - 0 = 9$. Следовательно, единственное целое число, которое больше 8 и может быть разностью цифр, — это 9. Таким образом, условие сводится к уравнению $|a - b| = 9$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $a - b = 9$. Учитывая, что $a \le 9$ и $b \ge 0$, единственным решением является $a=9, b=0$. Это соответствует числу 90.
2. $b - a = 9$. Единственным решением в целых неотрицательных числах является $b=9, a=0$. Однако, для двузначного числа цифра десятков $a$ не может быть равна нулю.

Таким образом, только одно число, 90, удовлетворяет этому условию. Число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{90}$.

Ответ: $\frac{1}{90}$

б) его цифры различаются больше чем на 7;

Условие "его цифры различаются больше чем на 7" означает, что $|a - b| > 7$. Это значит, что абсолютная разность между цифрами может быть равна 8 или 9.

Случай $|a - b| = 9$ был рассмотрен в предыдущем пункте. Ему удовлетворяет только одно число — 90.

Теперь рассмотрим случай $|a - b| = 8$:

• $a - b = 8$. Возможные пары цифр $(a, b)$: $(9, 1)$ и $(8, 0)$. Они соответствуют числам 91 и 80.
• $b - a = 8$. Возможная пара цифр $(a, b)$: $(1, 9)$. Она соответствует числу 19. (Пара $(0, 8)$ не подходит, так как $a \neq 0$).

Числа, у которых разность цифр равна 8: 91, 80 и 19. Всего 3 числа.

Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов для разностей 8 и 9. Всего $1 + 3 = 4$ числа (90, 91, 80, 19). Таким образом, $m = 4$.

Вероятность этого события: $P = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$.

Ответ: $\frac{2}{45}$

в) при перестановке цифр местами получится двузначное число, меньшее исходного;

Пусть исходное число — это $N_1 = 10a + b$. После перестановки цифр получается число $N_2 = 10b + a$.

Условие задачи накладывает два ограничения:

1. Получившееся число $N_2$ должно быть двузначным. Это значит, что его первая цифра $b$ не может быть нулем, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.
2. Новое число должно быть меньше исходного: $N_2 < N_1$. Запишем это в виде неравенства: $10b + a < 10a + b$. Упростив его, получаем $9b < 9a$, или $b < a$.

Итак, нам нужно найти количество двузначных чисел $10a+b$, для которых одновременно выполняются условия $a > b$ и $b \neq 0$. Перечислим все такие числа, сгруппировав их по значению первой цифры $a$:

• При $a=2$: $b=1$ (число 21) — 1 число.
• При $a=3$: $b \in \{1, 2\}$ (числа 31, 32) — 2 числа.
• При $a=4$: $b \in \{1, 2, 3\}$ — 3 числа.
• При $a=5$: $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ — 4 числа.
• При $a=6$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ — 5 чисел.
• При $a=7$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — 6 чисел.
• При $a=8$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ — 7 чисел.
• При $a=9$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ — 8 чисел.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме: $m = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Вероятность этого события: $P = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

г) оно ближе к 27, чем к 72.

Пусть выбранное число — $x$. Условие "оно ближе к 27, чем к 72" означает, что расстояние от $x$ до 27 меньше, чем расстояние от $x$ до 72. Математически это выражается неравенством: $|x - 27| < |x - 72|$.

Это неравенство справедливо для всех чисел $x$, которые находятся на числовой оси левее точки, равноудаленной от 27 и 72. Эта точка является их средним арифметическим:

$M = \frac{27 + 72}{2} = \frac{99}{2} = 49.5$

Таким образом, условие задачи равносильно неравенству $x < 49.5$. Поскольку $x$ — двузначное целое число, оно должно принадлежать диапазону от 10 до 49 включительно.

Найдем количество целых чисел в этом диапазоне (число благоприятных исходов $m$):

$m = 49 - 10 + 1 = 40$.

Вероятность этого события: $P = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$