Страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.6 а) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 4, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, оканчивающихся на 4, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, оканчивающихся цифрой 4, среди первых $n$ натуральных чисел:

г) К какому числу приближается частота с увеличением $n$?

а)

Среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17) необходимо найти все числа, последняя цифра которых равна 4. Выпишем эти числа: 4, 14. Всего таких чисел два.

Ответ: 2

б)

Частота события — это отношение количества случаев, в которых это событие произошло, к общему числу испытаний. В данном случае событие — это выбор числа, оканчивающегося на 4, из первых 17 натуральных чисел. Количество таких чисел, как мы выяснили в пункте а), равно 2. Общее количество чисел (испытаний) равно 17. Следовательно, искомая частота равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Частота = $\frac{2}{17}$

Ответ: $\frac{2}{17}$

в)

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $n$ определить количество $k$ натуральных чисел от 1 до $n$, оканчивающихся на 4, и вычислить частоту этого события как отношение $\frac{k}{n}$. Числа, оканчивающиеся на 4, образуют последовательность: 4, 14, 24, 34, ... . Количество таких чисел $k$ в диапазоне от 1 до $n$ можно найти по формуле $k = \lfloor \frac{n-4}{10} \rfloor + 1$ для $n \ge 4$. Результаты вычислений приведены в таблице.

Ответ: Таблица заполнена выше.

г)

Чтобы определить, к какому числу приближается частота с увеличением $n$, нужно найти предел частоты при $n \to \infty$. Частота определяется как $\frac{k(n)}{n}$, где $k(n)$ — количество чисел, оканчивающихся на 4, среди первых $n$ натуральных чисел.

Как мы установили, $k(n) = \lfloor \frac{n-4}{10} \rfloor + 1$. Для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство: $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Применим его к нашему выражению для $k(n)$:

$(\frac{n-4}{10} - 1) + 1 < k(n) \le \frac{n-4}{10} + 1$

$\frac{n-4}{10} < k(n) \le \frac{n+6}{10}$

Разделим все части неравенства на $n$ (поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$):

$\frac{n-4}{10n} < \frac{k(n)}{n} \le \frac{n+6}{10n}$

$\frac{1}{10} - \frac{4}{10n} < \frac{k(n)}{n} \le \frac{1}{10} + \frac{6}{10n}$

При $n \to \infty$ величины $\frac{4}{10n}$ и $\frac{6}{10n}$ стремятся к нулю. Таким образом, и левая, и правая части неравенства стремятся к $\frac{1}{10}$. По теореме о сжатии (о двух милиционерах), предел частоты, находящейся между ними, также равен $\frac{1}{10}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{k(n)}{n} = \frac{1}{10} = 0,1$

Интуитивно это можно объяснить так: поскольку существует 10 цифр (0, 1, ..., 9), которые могут быть последней цифрой натурального числа, и их появление равновероятно, то доля чисел, оканчивающихся на конкретную цифру (например, 4), будет составлять примерно одну десятую от общего количества.

Ответ: 0,1

21.7 а) Сколько чисел, начинающихся с цифры 4, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых $n$ натуральных чисел:

г) Наблюдается ли тут статистическая устойчивость? В каких пределах меняется частота с увеличением $n$?

а) Среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17) только одно число начинается с цифры 4 — это само число 4.

Ответ: 1 число.

б) Частота события — это отношение количества исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов. В данном случае событие — это «число начинается с цифры 4». Количество таких чисел среди первых 17 равно 1. Общее количество чисел равно 17. Следовательно, частота равна $1/17$.

Ответ: Частота равна $1/17 \approx 0.059$.

в) Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $n$ подсчитать количество чисел, начинающихся с цифры 4, в диапазоне от 1 до $n$, а затем найти частоту, разделив это количество на $n$.
Методика подсчета количества чисел, начинающихся с цифры 4 (обозначим $K(n)$):

• Однозначные числа: 4 (1 число).
• Двузначные числа: 40–49 (10 чисел).
• Трехзначные числа: 400–499 (100 чисел).
• Четырехзначные числа: 4000–4999 (1000 чисел), и так далее.

Например, для $n=57$:
$K(57) = (\text{число 4}) + (\text{числа от 40 до 49}) = 1 + 10 = 11$.
Частота $F(57) = K(57)/57 = 11/57$.

Для $n=4000$:
$K(4000) = (\text{число 4}) + (\text{числа 40-49}) + (\text{числа 400-499}) + (\text{число 4000}) = 1 + 10 + 100 + 1 = 112$.
Частота $F(4000) = 112/4000 = 0.028$.

Расчеты для всех значений $n$ сведены в таблицу.

Ответ:

г) Статистическая устойчивость предполагает, что с увеличением числа испытаний (в данном случае, с ростом $n$) частота события стабилизируется, то есть колеблется около некоторого постоянного значения.
Из таблицы видно, что частота не стабилизируется. Она значительно колеблется: например, при переходе от $n=100$ к $n=400$ частота падает с 0.11 до 0.03, а при переходе от $n=400$ к $n=500$ резко возрастает с 0.03 до 0.222. Такое поведение наблюдается и при больших $n$. Следовательно, статистическая устойчивость в данном случае не наблюдается.

Частота меняется в определенных пределах.

• Когда $n$ проходит через интервалы, где нет чисел, начинающихся с 4 (например, от 500 до 3999), количество таких чисел ($K(n)$) постоянно, а $n$ растет, поэтому частота $K(n)/n$ уменьшается. Локальные минимумы достигаются при $n$, близких к $4 \cdot 10^k$ (например, $n=39, 399, 3999, \dots$). При очень больших $n$ эти минимальные значения приближаются к $1/36 \approx 0.0278$.
• Когда $n$ проходит через интервалы, где все числа начинаются с 4 (например, от 400 до 499), частота резко возрастает. Локальные максимумы достигаются при $n$, близких к $5 \cdot 10^k$ (например, $n=49, 499, 4999, \dots$). При очень больших $n$ эти максимальные значения приближаются к $2/9 \approx 0.2222$.

Таким образом, частота не стремится к одному числу, а колеблется. Наибольшее значение частоты равно 0.25 (при $n=4$), а наименьшее — 0 (при $n<4$). С ростом $n$ колебания происходят в основном в диапазоне, границы которого приближаются к $1/36$ и $2/9$.

Ответ: Статистическая устойчивость не наблюдается. Частота колеблется, и при больших $n$ ее значения находятся преимущественно в пределах от $1/36 \approx 0.0278$ до $2/9 \approx 0.2222$.

21.8 По статистике выполнения заданий Единого государственного экзамена (ЕГЭ) количество учеников, решавших задание под номером А7, составило 73%, а решивших его — примерно 64% от общего числа участников.

а) Всего в ЕГЭ участвовало около 700 тыс. человек. Сколько примерно из них не решали задачу А7?

б) Сколько примерно человек решили задачу А7?

в) В Приволжском федеральном округе в ЕГЭ участвовало 113 586 человек и процент выполнения был на 2 выше, чем в среднем по стране. Сколько примерно человек в этом округе решили задачу А7?

г) В Центральном федеральном округе верно решили эту задачу 76121 человек и процент выполнения был на 1 ниже, чем в среднем по стране. Сколько человек сдавали ЕГЭ в этом округе?

а) Для ответа на этот вопрос нужно определить процент учеников, которые не приступали к решению задачи А7. В условии сказано, что решали (то есть пытались решить) задачу 73% учеников. Следовательно, процент учеников, которые не решали задачу, составляет разницу от общего числа:

$100\% - 73\% = 27\%$

Теперь найдем количество этих учеников от общего числа участников ЕГЭ, которое составляет примерно 700 000 человек:

$700000 \times \frac{27}{100} = 700000 \times 0.27 = 189000$

Ответ: примерно 189 000 человек не решали задачу А7.

б) В условии указано, что верно решили задачу А7 примерно 64% от общего числа участников. Общее число участников — 700 000 человек. Найдем количество учеников, решивших задачу верно:

$700000 \times \frac{64}{100} = 700000 \times 0.64 = 448000$

Ответ: примерно 448 000 человек решили задачу А7.

в) Средний процент выполнения (верного решения) задачи по стране составляет 64%. В Приволжском федеральном округе этот показатель был на 2 процентных пункта выше, то есть:

$64\% + 2\% = 66\%$

В этом округе ЕГЭ сдавали 113 586 человек. Чтобы найти, сколько из них решили задачу, нужно вычислить 66% от этого числа:

$113586 \times \frac{66}{100} = 113586 \times 0.66 = 74966.76$

Так как количество человек не может быть дробным, округлим результат до ближайшего целого.

Ответ: примерно 74 967 человек в этом округе решили задачу А7.

г) Средний процент выполнения задачи по стране — 64%. В Центральном федеральном округе он был на 1 процентный пункт ниже, то есть:

$64\% - 1\% = 63\%$

Известно, что эти 63% от общего числа участников в округе составляют 76 121 человек. Обозначим общее число участников в округе за $X$. Тогда можно составить пропорцию:

$X \times 0.63 = 76121$

Чтобы найти $X$, разделим известное количество верно решивших на их долю:

$X = \frac{76121}{0.63} \approx 120826.98$

Округлим результат до ближайшего целого числа.

Ответ: в этом округе ЕГЭ сдавали примерно 120 827 человек.