Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22 Вычислите:

a) $(\sqrt{16})^3 - 51^0 - 5^2 \cdot 5^{-4} - 2 : 2^{-3}$;

б) $3^2 : 3^{-1} - (\sqrt[3]{125})^2 - 10 \cdot 10^{-3} + (\sqrt{13})^0$.

а) $(\sqrt{16})^3 - 51^0 \cdot 5^2 \cdot 5^{-4} - 2 : 2^{-3}$

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке, учитывая свойства степеней и корней.

1. Вычислим первое слагаемое $(\sqrt{16})^3$:
Сначала извлекаем квадратный корень: $\sqrt{16} = 4$.
Затем возводим результат в третью степень: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

2. Вычислим второе слагаемое $51^0 \cdot 5^2 \cdot 5^{-4}$:
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, поэтому $51^0 = 1$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $5^2 \cdot 5^{-4} = 5^{2 + (-4)} = 5^{-2}$.
Степень с отрицательным показателем равна обратной величине степени с положительным показателем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Таким образом, все выражение равно: $1 \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$.

3. Вычислим третье слагаемое $2 : 2^{-3}$:
Число 2 можно представить как $2^1$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $2^1 : 2^{-3} = 2^{1 - (-3)} = 2^{1+3} = 2^4$.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$64 - \frac{1}{25} - 16$
Сначала выполним вычитание целых чисел: $64 - 16 = 48$.
Затем вычтем дробь: $48 - \frac{1}{25} = 47\frac{25}{25} - \frac{1}{25} = 47\frac{24}{25}$.
В виде десятичной дроби это будет $48 - 0.04 = 47.96$.

Ответ: $47\frac{24}{25}$

б) $3^2 : 3^{-1} - (\sqrt[3]{125})^2 - 10 \cdot 10^{-3} + (\sqrt{13})^0$

Решим это выражение по частям, соблюдая порядок действий.

1. Вычислим $3^2 : 3^{-1}$:
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $3^2 : 3^{-1} = 3^{2 - (-1)} = 3^{2+1} = 3^3$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

2. Вычислим $(\sqrt[3]{125})^2$:
Сначала извлекаем кубический корень: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
Затем возводим результат в квадрат: $5^2 = 25$.

3. Вычислим $10 \cdot 10^{-3}$:
Число 10 можно представить как $10^1$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^1 \cdot 10^{-3} = 10^{1 + (-3)} = 10^{-2}$.
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

4. Вычислим $(\sqrt{13})^0$:
Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1. Так как $\sqrt{13} \neq 0$, то $(\sqrt{13})^0 = 1$.

5. Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:
$27 - 25 - 0.01 + 1$
Выполним действия сложения и вычитания по порядку: $(27 - 25) - 0.01 + 1 = 2 - 0.01 + 1 = (2+1) - 0.01 = 3 - 0.01 = 2.99$.

Ответ: $2.99$

23 Вычислите:

a) $\frac{(-11\sqrt{7})^2}{77} - \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}$

б) $\frac{(-17\sqrt{5})^2}{85} + \sqrt{6} \cdot 15 \cdot \sqrt{40}$

а) $\frac{(-11\sqrt{7})^2}{77} - \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}$
Решим данное выражение по действиям.
1. Упростим первое слагаемое $\frac{(-11\sqrt{7})^2}{77}$. Для этого возведем в квадрат числитель, используя свойство $(ab)^2 = a^2b^2$:
$(-11\sqrt{7})^2 = (-11)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 121 \cdot 7 = 847$.
Теперь подставим полученное значение обратно в дробь и сократим ее:
$\frac{847}{77} = \frac{121 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{121}{11} = 11$.
2. Упростим второе слагаемое $\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}$. Воспользуемся свойством корня из частного $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{512}{8}} = \sqrt{64} = 8$.
3. Выполним вычитание результатов:
$11 - 8 = 3$.
Ответ: 3

б) $\frac{(-17\sqrt{5})^2}{85} + \sqrt{6 \cdot 15} \cdot \sqrt{40}$
Решим данное выражение по действиям.
1. Упростим первое слагаемое $\frac{(-17\sqrt{5})^2}{85}$. Возведем в квадрат числитель:
$(-17\sqrt{5})^2 = (-17)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 289 \cdot 5 = 1445$.
Подставим полученное значение в дробь и сократим:
$\frac{1445}{85} = \frac{289 \cdot 5}{17 \cdot 5} = \frac{289}{17} = 17$.
2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{6 \cdot 15} \cdot \sqrt{40}$. Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и объединим все под один корень:
$\sqrt{6 \cdot 15 \cdot 40} = \sqrt{90 \cdot 40} = \sqrt{3600}$.
Для извлечения корня можно представить 3600 как $36 \cdot 100$:
$\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60$.
3. Выполним сложение результатов:
$17 + 60 = 77$.
Ответ: 77

24 Между какими последовательными натуральными числами находится $ \sqrt{183} $?

1) 14 и 15;

2) $ \sqrt{182} $ и $ \sqrt{184} $;

3) 13 и 14;

4) 12 и 15.

Чтобы определить, между какими последовательными натуральными числами находится число $\sqrt{183}$, необходимо найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется двойное неравенство $n < \sqrt{183} < n+1$.

Поскольку все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знаки неравенства сохранятся:
$n^2 < (\sqrt{183})^2 < (n+1)^2$
$n^2 < 183 < (n+1)^2$

Таким образом, задача сводится к поиску двух последовательных натуральных чисел, между квадратами которых находится число 183. Проверим квадраты целых чисел, чтобы найти подходящую пару:

$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$

Из этого списка видно, что число 183 находится между $169$ и $196$. Значит, справедливо неравенство: $169 < 183 < 196$

Заменим числа 169 и 196 их представлениями в виде квадратов: $13^2 < 183 < 14^2$

Теперь извлечем квадратный корень из всех частей этого двойного неравенства: $\sqrt{13^2} < \sqrt{183} < \sqrt{14^2}$
$13 < \sqrt{183} < 14$

Следовательно, число $\sqrt{183}$ находится между последовательными натуральными числами 13 и 14. Этот вариант указан под номером 3.

Ответ: 3

25 Между какими последовательными натуральными числами находится $10\sqrt{3}$?

1) 17 и 18;

2) 10 и 11;

3) 16 и 18;

4) $\sqrt{299}$ и $\sqrt{301}$.

Чтобы определить, между какими последовательными натуральными числами находится число $10\sqrt{3}$, сначала преобразуем это выражение, внеся множитель 10 под знак квадратного корня.

$10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$ таких, что $n < \sqrt{300} < n+1$.

Для этого можно возвести все части неравенства в квадрат. Поскольку все числа положительные, знаки неравенства сохранятся:

$n^2 < 300 < (n+1)^2$.

Найдем квадраты целых чисел, ближайшие к числу 300, чтобы определить значение $n$:

$17^2 = 289$
$18^2 = 324$

Мы видим, что $289 < 300 < 324$. Следовательно, $17^2 < 300 < 18^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей этого двойного неравенства, получаем:

$\sqrt{17^2} < \sqrt{300} < \sqrt{18^2}$

$17 < \sqrt{300} < 18$

Поскольку $10\sqrt{3} = \sqrt{300}$, то искомые последовательные натуральные числа — это 17 и 18.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

1) 17 и 18
Эти числа являются последовательными натуральными, и, как мы выяснили, $17 < 10\sqrt{3} < 18$. Этот вариант правильный.

2) 10 и 11
Проверим неравенство: $10 < 10\sqrt{3} < 11$. Возведем в квадрат: $100 < 300 < 121$. Это неравенство неверно, так как $300 > 121$.

3) 16 и 18
Эти числа не являются последовательными, что противоречит условию задачи ("между какими последовательными натуральными числами").

4) $\sqrt{299}$ и $\sqrt{301}$
Эти числа не являются натуральными, а в задаче требуется найти именно натуральные числа.

Таким образом, единственным верным вариантом является первый.

Ответ: 1) 17 и 18.

26 На координатной прямой (рис. 57) отмечены точки A, B, D. Где должна быть расположена точка $C(4\sqrt{11})$?

1) Левее A;

2) между A и B;

3) между B и D;

4) правее D.

Рис. 57

Для того чтобы определить, где на координатной прямой расположена точка $C(4\sqrt{11})$, необходимо сравнить ее координату с координатами точек A, B и D.

Из рисунка видно, что единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) равен одному делению шкалы. Следовательно, отсчитав деления от нуля, получаем координаты точек: A имеет координату 12, B — координату 13, а D — координату 14.

Теперь сравним число $4\sqrt{11}$ с числами 12, 13 и 14. Чтобы упростить сравнение, возведем все эти числа в квадрат. Это корректное действие, так как все числа положительные, и соотношение между ними сохранится и для их квадратов (если $a < b$ и $a,b > 0$, то $a^2 < b^2$).

Вычислим квадрат координаты точки C:$(4\sqrt{11})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{11})^2 = 16 \cdot 11 = 176$.

Вычислим квадраты координат точек A, B и D:$A^2 = 12^2 = 144$.$B^2 = 13^2 = 169$.$D^2 = 14^2 = 196$.

Теперь сравним полученные квадраты:$144 < 169 < 176 < 196$.

Это неравенство соответствует следующему соотношению для квадратов координат:$A^2 < B^2 < C^2 < D^2$.

Так как все координаты — положительные числа, то же соотношение справедливо и для самих координат:$A < B < C < D$,то есть $12 < 13 < 4\sqrt{11} < 14$.

Из этого неравенства следует, что значение координаты точки C больше координаты точки B (13) и меньше координаты точки D (14). Таким образом, точка C расположена на координатной прямой между точками B и D, что соответствует варианту ответа 3.

Ответ: между B и D.

27 На координатной прямой (рис. 58) отмечены точки K, M, N. Где должна быть расположена точка $P(3\sqrt{15})$?

1) Левее K;

2) между K и M;

3) между M и N;

4) правее N.

Рис. 58

Чтобы определить, где на координатной прямой расположена точка $P(3\sqrt{15})$, нужно сравнить её координату с координатами точек $K$, $M$ и $N$.

1. Сначала определим по рисунку координаты точек $K$, $M$ и $N$. Единичный отрезок задан точками 0 и 1. Считая деления от нуля, получаем:

• Координата точки $K$ равна 10.
• Координата точки $M$ равна 11.
• Координата точки $N$ равна 12.

2. Теперь нужно сравнить число $3\sqrt{15}$ с числами 10, 11 и 12. Чтобы избавиться от корня, удобнее сравнивать не сами числа, а их квадраты. Это допустимо, так как все сравниваемые числа положительны.

3. Найдем квадрат координаты точки $P$:

$(3\sqrt{15})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 9 \cdot 15 = 135$.

4. Найдем квадраты координат ближайших к $P$ точек:

• Квадрат координаты точки $M$: $11^2 = 121$.
• Квадрат координаты точки $N$: $12^2 = 144$.

5. Сравним полученные квадраты:

$121 < 135 < 144$.

Это значит, что выполняется следующее неравенство:

$11^2 < (3\sqrt{15})^2 < 12^2$.

6. Так как все исходные числа положительны, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство для самих чисел:

$11 < 3\sqrt{15} < 12$.

Таким образом, координата точки $P$ больше координаты точки $M$ (равной 11) и меньше координаты точки $N$ (равной 12). Следовательно, точка $P$ расположена на координатной прямой между точками $M$ и $N$.

Ответ: 3) между $M$ и $N$.