Номер 25, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

25 Между какими последовательными натуральными числами находится $10\sqrt{3}$?

1) 17 и 18;

2) 10 и 11;

3) 16 и 18;

4) $\sqrt{299}$ и $\sqrt{301}$.

Чтобы определить, между какими последовательными натуральными числами находится число $10\sqrt{3}$, сначала преобразуем это выражение, внеся множитель 10 под знак квадратного корня.

$10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$ таких, что $n < \sqrt{300} < n+1$.

Для этого можно возвести все части неравенства в квадрат. Поскольку все числа положительные, знаки неравенства сохранятся:

$n^2 < 300 < (n+1)^2$.

Найдем квадраты целых чисел, ближайшие к числу 300, чтобы определить значение $n$:

$17^2 = 289$
$18^2 = 324$

Мы видим, что $289 < 300 < 324$. Следовательно, $17^2 < 300 < 18^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей этого двойного неравенства, получаем:

$\sqrt{17^2} < \sqrt{300} < \sqrt{18^2}$

$17 < \sqrt{300} < 18$

Поскольку $10\sqrt{3} = \sqrt{300}$, то искомые последовательные натуральные числа — это 17 и 18.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

1) 17 и 18
Эти числа являются последовательными натуральными, и, как мы выяснили, $17 < 10\sqrt{3} < 18$. Этот вариант правильный.

2) 10 и 11
Проверим неравенство: $10 < 10\sqrt{3} < 11$. Возведем в квадрат: $100 < 300 < 121$. Это неравенство неверно, так как $300 > 121$.

3) 16 и 18
Эти числа не являются последовательными, что противоречит условию задачи ("между какими последовательными натуральными числами").

4) $\sqrt{299}$ и $\sqrt{301}$
Эти числа не являются натуральными, а в задаче требуется найти именно натуральные числа.

Таким образом, единственным верным вариантом является первый.

Ответ: 1) 17 и 18.