Номер 31, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

31 Вычислите:

a) $\sqrt{113^2 - 112^2} + (\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6);$

б) $\frac{\sqrt{244^2 - 240^2}}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}.$

а) Для вычисления выражения $\sqrt{113^2 - 112^2} + (\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6)$ разобьем его на две части и решим каждую по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

1. Для первого слагаемого $\sqrt{113^2 - 112^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ под корнем:

$113^2 - 112^2 = (113 - 112)(113 + 112) = 1 \cdot 225 = 225$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{225} = 15$.

2. Для второго слагаемого $(\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6)$ также применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 6$:

$(\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6) = (\sqrt{7})^2 - 6^2 = 7 - 36 = -29$.

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$15 + (-29) = 15 - 29 = -14$.

Ответ: -14

б) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{244^2 - 240^2}}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}$ упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель $\sqrt{244^2 - 240^2}$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$244^2 - 240^2 = (244 - 240)(244 + 240) = 4 \cdot 484$.

Теперь извлечем корень из произведения:

$\sqrt{4 \cdot 484} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{484} = 2 \cdot 22 = 44$.

2. Упростим знаменатель $(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)$. Применим ту же формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{5}$ и $b = 4$:

$(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4) = (\sqrt{5})^2 - 4^2 = 5 - 16 = -11$.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{44}{-11} = -4$.

Ответ: -4