Номер 35, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

35 Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5};$

б) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} - \sqrt{7}.$

а) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5}$

Для упрощения выражения под корнем $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренное выражение $9 + 4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата.

Перепишем слагаемое $4\sqrt{5}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Тогда выражение примет вид $9 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$.

Теперь нам нужно найти два числа, $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 9$ и $2ab = 4\sqrt{5}$, что эквивалентно $ab = 2\sqrt{5}$.

В качестве таких чисел можно взять $a = 2$ и $b = \sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли условие $a^2 + b^2 = 9$:

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Условие выполняется. Таким образом, мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

$9 + 4\sqrt{5} = 4 + 5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 2^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5}$ (поскольку выражение $2 + \sqrt{5}$ положительно).

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(2 + \sqrt{5}) - \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$.

Ответ: $2$.

б) $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} - \sqrt{7}$

Для упрощения выражения под корнем $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ воспользуемся формулой для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренное выражение $8 - 2\sqrt{7}$ в виде полного квадрата.

Выражение $8 - 2\sqrt{7}$ уже имеет вид $a^2+b^2 - 2ab$. Нам нужно найти два числа, $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 8$ и $ab = \sqrt{7}$.

В качестве таких чисел можно взять $a = \sqrt{7}$ и $b = 1$.

Проверим, выполняется ли условие $a^2 + b^2 = 8$:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7 + 1 = 8$.

Условие выполняется. Таким образом, мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$8 - 2\sqrt{7} = 7 + 1 - 2\sqrt{7} \cdot 1 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 = (\sqrt{7} - 1)^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1|$.

Чтобы раскрыть модуль, оценим знак выражения $\sqrt{7} - 1$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, $\sqrt{7} - 1$ является положительным числом, и модуль можно опустить: $|\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - 1) - \sqrt{7} = \sqrt{7} - 1 - \sqrt{7} = -1$.

Ответ: $-1$.