Номер 39, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

39 Упростите выражение $\frac{3b^{-1} \cdot (9b^2)^3}{(3b^{-2})^4}$.

1) $\frac{b^{13}}{3}$;

2) $27b^{13}$;

3) $9b^{10}$;

4) $27b^3$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{3b^{-1} \cdot (9b^2)^3}{(3b^{-2})^4} $$

1. Упрощение числителя.

Сначала раскроем скобки в выражении $(9b^2)^3$. Для этого представим число 9 в виде степени числа 3 ($9 = 3^2$) и воспользуемся свойством возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и свойством возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$:

$(9b^2)^3 = (3^2 \cdot b^2)^3 = (3^2)^3 \cdot (b^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 3^6 b^6$.

Теперь перемножим полученный результат с первым множителем в числителе ($3b^{-1}$), используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$3b^{-1} \cdot (3^6 b^6) = (3^1 \cdot 3^6) \cdot (b^{-1} \cdot b^6) = 3^{1+6} \cdot b^{-1+6} = 3^7 b^5$.

Итак, числитель равен $3^7 b^5$.

2. Упрощение знаменателя.

Упростим выражение $(3b^{-2})^4$, используя те же свойства степеней:

$(3b^{-2})^4 = 3^4 \cdot (b^{-2})^4 = 3^4 \cdot b^{-2 \cdot 4} = 3^4 b^{-8}$.

Итак, знаменатель равен $3^4 b^{-8}$.

3. Деление числителя на знаменатель.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$:

$$ \frac{3^7 b^5}{3^4 b^{-8}} = \frac{3^7}{3^4} \cdot \frac{b^5}{b^{-8}} = 3^{7-4} \cdot b^{5-(-8)} = 3^3 \cdot b^{5+8} = 3^3 b^{13} $$

4. Окончательное упрощение.

Вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Таким образом, итоговое выражение равно $27b^{13}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $27b^{13}$