Номер 45, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

45 Укажите номера тождественно равных выражений.

1) $x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$;

2) $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$;

3) $x^2 - 8xy + 16y^2 = (4y - x)^2$;

4) $x^2 - 4y^2 = - (2y - x)(2y + x)$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных равенств являются тождествами, необходимо проверить каждое из них путем преобразования одной из частей равенства и сравнения ее с другой.

1) $x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$

Рассмотрим правую часть равенства. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = x$, а $b = 4y$.

$(x - 4y)(x + 4y) = x^2 - (4y)^2 = x^2 - 16y^2$.

Сравним результат с левой частью равенства: $x^2 - 4y^2 \neq x^2 - 16y^2$.

Поскольку левая и правая части не равны, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

2) $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$

Рассмотрим правую часть равенства. Раскроем скобки путем перемножения многочленов:

$(x - 4)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 - 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = x^2 + x - 4x - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (1-4)x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 3x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) $x^2 - 8xy + 16y^2 = (4y - x)^2$

Рассмотрим правую часть равенства. Применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 4y$, а $b = x$.

$(4y - x)^2 = (4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot x + x^2 = 16y^2 - 8xy + x^2$.

Переставим слагаемые, чтобы упорядочить выражение по степеням $x$:

$x^2 - 8xy + 16y^2$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 8xy + 16y^2$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

4) $x^2 - 4y^2 = -(2y - x)(2y + x)$

Рассмотрим правую часть равенства. Сначала преобразуем произведение в скобках, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2y$ и $b = x$.

$(2y - x)(2y + x) = (2y)^2 - x^2 = 4y^2 - x^2$.

Теперь подставим это в правую часть исходного равенства:

$-(4y^2 - x^2) = -4y^2 + x^2$.

Переставим слагаемые: $x^2 - 4y^2$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 4y^2 = x^2 - 4y^2$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

Таким образом, тождествами являются выражения под номерами 2, 3 и 4.