Номер 52, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

52 a) Найдите значение выражения $ \frac{a^2 - 16a + 64}{64 - 8a} $ при $ a = -0,4 $.

б) Найдите значение выражения $ \frac{36 - y^2}{y^2 - 12y + 36} $ при $ y = \frac{2}{3} $.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{a^2 - 16a + 64}{64 - 8a}$ при $a = -0,4$, сначала упростим его.

Числитель $a^2 - 16a + 64$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$, $y=8$, поэтому $a^2 - 16a + 64 = (a-8)^2$.

В знаменателе $64 - 8a$ вынесем общий множитель 8 за скобки: $64 - 8a = 8(8 - a)$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $\frac{(a-8)^2}{8(8-a)}$.

Заметим, что выражения $(a-8)$ и $(8-a)$ являются противоположными, то есть $a-8 = -(8-a)$. Тогда мы можем переписать дробь следующим образом, чтобы сократить её: $\frac{(a-8)^2}{8(8-a)} = \frac{(a-8)(a-8)}{-8(a-8)}$.

При $a \neq 8$ можно сократить на $(a-8)$: $\frac{a-8}{-8} = \frac{-(8-a)}{-8} = \frac{8-a}{8}$.

Теперь подставим значение $a = -0,4$ в упрощенное выражение: $\frac{8 - (-0,4)}{8} = \frac{8 + 0,4}{8} = \frac{8,4}{8} = 1,05$.

Ответ: $1,05$.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{36 - y^2}{y^2 - 12y + 36}$ при $y = \frac{2}{3}$, сначала упростим его.

Числитель $36 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a=6$, $b=y$, поэтому $36 - y^2 = (6-y)(6+y)$.

Знаменатель $y^2 - 12y + 36$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$, где $x=y$ и $z=6$, получаем $y^2 - 12y + 36 = (y-6)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{(6-y)(6+y)}{(y-6)^2}$.

Заметим, что $6-y = -(y-6)$, а $(y-6)^2 = (y-6)(y-6)$. $\frac{-(y-6)(y+6)}{(y-6)(y-6)}$.

При $y \neq 6$ можно сократить на $(y-6)$: $\frac{-(y+6)}{y-6} = \frac{y+6}{-(y-6)} = \frac{y+6}{6-y}$.

Теперь подставим значение $y = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение: $\frac{\frac{2}{3} + 6}{6 - \frac{2}{3}}$.

Вычислим числитель и знаменатель дроби:
Числитель: $\frac{2}{3} + 6 = \frac{2}{3} + \frac{18}{3} = \frac{20}{3}$.
Знаменатель: $6 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{20}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{20}{3} \cdot \frac{3}{16} = \frac{20}{16}$.

Сократим полученную дробь на 4: $\frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.