Номер 48, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

48 Упростите выражение:

a) $(3a + 6)(a - 2) - (2a - 1)^2$;

б) $(2a - 6)(a + 3) - (3a + 1)^2$.

а) $(3a + 6)(a - 2) - (2a - 1)^2$

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем произведение скобок $(3a + 6)(a - 2)$. Для удобства вынесем общий множитель 3 из первой скобки:

$(3a + 6)(a - 2) = 3(a + 2)(a - 2)$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$3(a^2 - 2^2) = 3(a^2 - 4) = 3a^2 - 12$

2. Далее раскроем скобку $(2a - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(3a^2 - 12) - (4a^2 - 4a + 1)$

Раскроем вторые скобки, изменив знак каждого слагаемого внутри на противоположный, так как перед скобкой стоит знак минус:

$3a^2 - 12 - 4a^2 + 4a - 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 4a^2) + 4a + (-12 - 1) = -a^2 + 4a - 13$

Ответ: $-a^2 + 4a - 13$

б) $(2a - 6)(a + 3) - (3a + 1)^2$

Упростим это выражение аналогичным образом.

1. Раскроем произведение $(2a - 6)(a + 3)$. Вынесем общий множитель 2 из первой скобки:

$(2a - 6)(a + 3) = 2(a - 3)(a + 3)$

Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$2(a^2 - 3^2) = 2(a^2 - 9) = 2a^2 - 18$

2. Раскроем скобку $(3a + 1)^2$, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(2a^2 - 18) - (9a^2 + 6a + 1)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$2a^2 - 18 - 9a^2 - 6a - 1$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 - 9a^2) - 6a + (-18 - 1) = -7a^2 - 6a - 19$

Ответ: $-7a^2 - 6a - 19$