Номер 53, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

53 Сократите дробь:

a) $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81}$;

б) $\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8}$;

В) $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}$;

Г) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^2 - 8x - 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители как $(x - 9)(x - (-1)) = (x - 9)(x + 1)$.
Знаменатель $x^2 - 81$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 81 = x^2 - 9^2 = (x - 9)(x + 9)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 9)$:
$\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81} = \frac{(x - 9)(x + 1)}{(x - 9)(x + 9)} = \frac{x + 1}{x + 9}$.
Ответ: $\frac{x + 1}{x + 9}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе $x^2 + 8x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 8)$.
Разложим знаменатель $x^2 + 9x + 8$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители как $(x - (-1))(x - (-8)) = (x + 1)(x + 8)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x + 8)$:
$\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8} = \frac{x(x + 8)}{(x + 1)(x + 8)} = \frac{x}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x}{x + 1}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^2 + 8x - 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 8x - 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители как $(x - 1)(x - (-9)) = (x - 1)(x + 9)$.
Знаменатель $x^2 - 1$ является разностью квадратов: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x + 9)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 9}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x + 9}{x + 1}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе $x^2 - 9x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 9)$.
Разложим знаменатель $x^2 - 10x + 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 9 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 9$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители как $(x - 1)(x - 9)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 9)$:
$\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9} = \frac{x(x - 9)}{(x - 1)(x - 9)} = \frac{x}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{x}{x - 1}$.