Номер 60, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

60 Укажите квадратный трёхчлен, который нельзя разложить на множители.

1) $x^2 + 16x + 64$;

2) $x^2 - 16x + 65$;

3) $x^2 - 16x + 63$;

4) $x^2 + 16x - 65$.

Для того чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант $D \ge 0$, то трёхчлен можно разложить на множители. Если $D < 0$, то трёхчлен разложить на множители с действительными коэффициентами нельзя. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 16x + 64$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 16$, $c = 64$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0$.

Так как $D=0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители. В данном случае это формула полного квадрата: $x^2 + 16x + 64 = (x+8)^2$.

2) $x^2 - 16x + 65$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 65$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 256 - 260 = -4$.

Так как $D < 0$, данный квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.

3) $x^2 - 16x + 63$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 63$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.

Так как $D > 0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители. Корни уравнения $x^2 - 16x + 63 = 0$ равны $x_1 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = 7$ и $x_2 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = 9$, поэтому разложение имеет вид $(x-7)(x-9)$.

4) $x^2 + 16x - 65$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 16$, $c = -65$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 256 + 260 = 516$.

Так как $D > 0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители.

Таким образом, единственный квадратный трёхчлен из предложенных, который нельзя разложить на множители, это $x^2 - 16x + 65$, так как его дискриминант отрицательный.

Ответ: 2