Номер 65, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

65 a) Найдите значение выражения $ \frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4} $ при $x = 1$.

б) Найдите значение выражения $ \frac{6}{7 - a} + \frac{12a}{a^2 - 49} $ при $a = -5$.

а) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби $16 - x^2$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$. Знаменатель второй дроби $x - 4$ можно представить как $-(4 - x)$.

$\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4} = \frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} + \frac{5}{-(4 - x)} = \frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5}{4 - x}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(4 - x)(4 + x)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(4 + x)$:

$\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{10x - 5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{10x - 20 - 5x}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{5x - 20}{(4 - x)(4 + x)}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе:

$\frac{5(x - 4)}{(4 - x)(4 + x)}$

Так как $x - 4 = -(4 - x)$, мы можем сократить дробь на $(4 - x)$:

$\frac{-5(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = -\frac{5}{4 + x}$

Теперь подставим значение $x = 1$ в упрощенное выражение:

$-\frac{5}{4 + 1} = -\frac{5}{5} = -1$

Ответ: -1

б) Упростим выражение. Знаменатель второй дроби $a^2 - 49$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 49 = (a - 7)(a + 7)$. Знаменатель первой дроби $7 - a$ можно представить как $-(a - 7)$.

$\frac{6}{7 - a} + \frac{12a}{a^2 - 49} = \frac{6}{-(a - 7)} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)} = -\frac{6}{a - 7} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 7)(a + 7)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a + 7)$:

$-\frac{6(a + 7)}{(a - 7)(a + 7)} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)} = \frac{-6(a + 7) + 12a}{(a - 7)(a + 7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{-6a - 42 + 12a}{(a - 7)(a + 7)} = \frac{6a - 42}{(a - 7)(a + 7)}$

Вынесем общий множитель 6 в числителе:

$\frac{6(a - 7)}{(a - 7)(a + 7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 7)$:

$\frac{6}{a + 7}$

Теперь подставим значение $a = -5$ в упрощенное выражение:

$\frac{6}{-5 + 7} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3