Номер 69, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

69 Найдите значение выражения $(\frac{b}{a - b} - \frac{b}{a + b}) \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2b^2}$ при

$a = -0,2, b = 0,3.$

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим числовые значения переменных.

Исходное выражение: $(\frac{b}{a-b} - \frac{b}{a+b}) \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2b^2}$.

Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$.

$\frac{b}{a-b} - \frac{b}{a+b} = \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab + b^2 - (ab - b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab + b^2 - ab + b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b^2}{a^2 - b^2}$.

Теперь рассмотрим второй множитель. Его числитель $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2$.

Таким образом, всё выражение можно переписать в следующем виде:

$\frac{2b^2}{a^2 - b^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b^2}$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя первой дроби и проведем сокращение:

$\frac{2b^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b^2} = \frac{\cancel{2b^2}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2b^2}} = \frac{a+b}{a-b}$.

Мы упростили исходное выражение до $\frac{a+b}{a-b}$. Теперь подставим в него заданные значения $a = -0,2$ и $b = 0,3$:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{-0,2 + 0,3}{-0,2 - 0,3} = \frac{0,1}{-0,5}$.

Вычислим окончательное значение:

$\frac{0,1}{-0,5} = -\frac{1}{5} = -0,2$.

Ответ: -0,2.