Номер 62, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

62 a) Найдите значение выражения $ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $ при $ x = \frac{1}{2} $, $ y = \frac{1}{5} $.

б) Найдите значение выражения $ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $ при $ m = \frac{2}{3} $, $ n = \frac{1}{2} $.

а)

Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю.
Исходное выражение: $\frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2}$.
Знаменатели дробей: $4x^2y$ и $5xy^2$.
Наименьший общий знаменатель для них будет $20x^2y^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $5y$:
$\frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{4x^2y \cdot 5y} = \frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2}$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $4x$:
$\frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{5xy^2 \cdot 4x} = \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2} - \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2} = \frac{(60xy + 25y^2) - (20xy - 16x^2)}{20x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{20x^2y^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{20x^2y^2}$.
Заметим, что числитель является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=4x$ и $b=5y$:
$16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $\frac{(4x + 5y)^2}{20x^2y^2}$.
Теперь подставим в него заданные значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{5}$.
Вычислим значение числителя: $(4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{5})^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$.
Вычислим значение знаменателя: $20 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 20 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{25} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{9}{\frac{1}{5}} = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

б)

Упростим выражение $\frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n}$, приведя дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $6mn^2$ и $9m^2n$.
Наименьший общий знаменатель для них равен $18m^2n^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $3m$:
$\frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{6mn^2 \cdot 3m} = \frac{6mn + 9m^2}{18m^2n^2}$.
Приведем вторую дробь, домножив ее числитель и знаменатель на $2n$:
$\frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{9m^2n \cdot 2n} = \frac{18mn - 4n^2}{18m^2n^2}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(6mn + 9m^2) - (18mn - 4n^2)}{18m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{18m^2n^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{18m^2n^2}$.
Числитель является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=3m$ и $b=2n$:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2$.
Упрощенное выражение: $\frac{(3m - 2n)^2}{18m^2n^2}$.
Подставим заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = \frac{1}{2}$.
Вычислим значение числителя: $(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2})^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Вычислим значение знаменателя: $18 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 18 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{18 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{18}{9} = 2$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$