Номер 63, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

63 a) Найдите наименьшее значение выражения $2x^2 - 8x - 7$.

б) Найдите наибольшее значение выражения $-3x^2 - 6x + 5$.

Данное выражение $2x^2 - 8x - 7$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ в данном выражении $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашего выражения коэффициенты равны $a=2$ и $b=-8$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Наименьшее значение выражения — это ордината вершины $y_0$. Чтобы найти её, подставим значение $x_0 = 2$ в исходное выражение:

$y_{min} = 2(2)^2 - 8(2) - 7 = 2 \cdot 4 - 16 - 7 = 8 - 16 - 7 = -15$.

Ответ: $-15$

Данное выражение $-3x^2 - 6x + 5$ также является квадратичной функцией. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины $x_0$ по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае коэффициенты равны $a=-3$ и $b=-6$.

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.

Наибольшее значение выражения — это ордината вершины $y_0$. Подставим $x_0 = -1$ в исходное выражение:

$y_{max} = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 \cdot 1 + 6 + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$.

Ответ: $8$