Номер 59, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

59 Укажите квадратный трёхчлен, который нельзя разложить на множители.

1) $x^2 + 12x - 36$;

2) $x^2 - 12x + 36$;

3) $x^2 - 12x + 35$;

4) $x^2 + 12x + 37$.

Для того чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители с действительными коэффициентами, необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на множители.
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на множители.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 12x - 36$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=-36$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 144 + 144 = 288$.
Так как $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня, следовательно, его можно разложить на множители.
Ответ: можно разложить.

2) $x^2 - 12x + 36$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=-12$, $c=36$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$.
Так как $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (кратности 2), следовательно, его можно разложить на множители. Данный трёхчлен является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
Ответ: можно разложить.

3) $x^2 - 12x + 35$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=-12$, $c=35$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$.
Так как $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня, следовательно, его можно разложить на множители. Разложение имеет вид $(x-5)(x-7)$.
Ответ: можно разложить.

4) $x^2 + 12x + 37$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=37$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 144 - 148 = -4$.
Так как $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, и, следовательно, его нельзя разложить на множители.
Ответ: нельзя разложить.

Таким образом, из всех предложенных вариантов единственным квадратным трёхчленом, который нельзя разложить на множители, является $x^2 + 12x + 37$.