Страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

53 Сократите дробь:

a) $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81}$;

б) $\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8}$;

В) $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}$;

Г) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^2 - 8x - 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители как $(x - 9)(x - (-1)) = (x - 9)(x + 1)$.
Знаменатель $x^2 - 81$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 81 = x^2 - 9^2 = (x - 9)(x + 9)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 9)$:
$\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 - 81} = \frac{(x - 9)(x + 1)}{(x - 9)(x + 9)} = \frac{x + 1}{x + 9}$.
Ответ: $\frac{x + 1}{x + 9}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе $x^2 + 8x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 8)$.
Разложим знаменатель $x^2 + 9x + 8$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители как $(x - (-1))(x - (-8)) = (x + 1)(x + 8)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x + 8)$:
$\frac{x^2 + 8x}{x^2 + 9x + 8} = \frac{x(x + 8)}{(x + 1)(x + 8)} = \frac{x}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x}{x + 1}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^2 + 8x - 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 8x - 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители как $(x - 1)(x - (-9)) = (x - 1)(x + 9)$.
Знаменатель $x^2 - 1$ является разностью квадратов: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x + 9)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 9}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x + 9}{x + 1}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе $x^2 - 9x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 9)$.
Разложим знаменатель $x^2 - 10x + 9$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 9 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 9$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители как $(x - 1)(x - 9)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x - 9)$:
$\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 10x + 9} = \frac{x(x - 9)}{(x - 1)(x - 9)} = \frac{x}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{x}{x - 1}$.

54 a) Найдите значение выражения $\frac{c^2 - 2c}{c - 4} - \frac{16 - 6c}{4 - c}$ при $c = -3,5$.

б) Найдите значение выражения $\frac{n^2 + n}{n^3 - 8} - \frac{n + 4}{8 - n^3}$ при $n = 2,1$.

а) Сначала упростим выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $4 - c = -(c - 4)$.

$\frac{c^2 - 2c}{c - 4} - \frac{16 - 6c}{4 - c} = \frac{c^2 - 2c}{c - 4} - \frac{16 - 6c}{-(c - 4)} = \frac{c^2 - 2c}{c - 4} + \frac{16 - 6c}{c - 4}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{c^2 - 2c + 16 - 6c}{c - 4} = \frac{c^2 - 8c + 16}{c - 4}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности: $c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2$.

$\frac{(c - 4)^2}{c - 4} = c - 4$

Теперь подставим значение $c = -3,5$ в упрощенное выражение:

$c - 4 = -3,5 - 4 = -7,5$

Ответ: -7,5

б) Упростим данное выражение. Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $8 - n^3 = -(n^3 - 8)$.

$\frac{n^2 + n}{n^3 - 8} - \frac{n + 4}{8 - n^3} = \frac{n^2 + n}{n^3 - 8} - \frac{n + 4}{-(n^3 - 8)} = \frac{n^2 + n}{n^3 - 8} + \frac{n + 4}{n^3 - 8}$

Сложим дроби, приведя числители к общему:

$\frac{n^2 + n + n + 4}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8}$

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)$

Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим ее:

$\frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} = \frac{1}{n - 2}$

Теперь подставим значение $n = 2,1$ в полученное выражение:

$\frac{1}{2,1 - 2} = \frac{1}{0,1} = 10$

Ответ: 10

55 Разложите квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 45$ на множители.

1) $(x + 9)(x - 5)$;

2) $(x - 9)(x + 5)$;

3) $(x - 9)(x - 5)$;

4) $(x + 9)(x + 5).

Для разложения квадратного трёхчлена $x^2 - 4x - 45$ на множители необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 45 = 0$. Разложение будет иметь вид $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения.

1. Нахождение корней уравнения

Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 45 = 0$ с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-45$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

2. Разложение на множители

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -5$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$1 \cdot (x - 9)(x - (-5)) = (x - 9)(x + 5)$

Таким образом, квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 45$ раскладывается на множители как $(x - 9)(x + 5)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Проверка:

Можно раскрыть скобки, чтобы убедиться в правильности ответа:

$(x - 9)(x + 5) = x^2 + 5x - 9x - 45 = x^2 - 4x - 45$

Результат совпадает с исходным трёхчленом.

Ответ: 2) $(x - 9)(x + 5)$

56 Разложите квадратный трёхчлен $-x^2 + 2x + 24$ на множители.

1) $(x + 6)(x - 4)$;

2) $(x - 6)(x + 4)$;

3) $-(x + 6)(x - 4)$;

4) $-(x - 6)(x + 4)$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$,

где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Рассмотрим заданный трёхчлен $-x^2 + 2x + 24$.

Шаг 1: Нахождение корней квадратного уравнения

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни:

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -1$, $b = 2$, $c = 24$.

Для удобства решения можно умножить всё уравнение на $-1$:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ (для уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$, где $a=1, b=-2, c=-24$):

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Корни уравнения равны $6$ и $-4$.

Шаг 2: Разложение трёхчлена на множители

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$, а также старший коэффициент $a = -1$ (из исходного трёхчлена $-x^2 + 2x + 24$) в формулу разложения:

$-x^2 + 2x + 24 = a(x - x_1)(x - x_2) = -1 \cdot (x - 6)(x - (-4))$

Упрощаем полученное выражение:

$-(x - 6)(x + 4)$

Данное выражение соответствует варианту ответа №4.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, можно раскрыть скобки и сравнить результат с исходным выражением:

$-(x - 6)(x + 4) = -(x \cdot x + x \cdot 4 - 6 \cdot x - 6 \cdot 4) = -(x^2 + 4x - 6x - 24) = -(x^2 - 2x - 24) = -x^2 + 2x + 24$.

Результат совпал, разложение выполнено верно.

Ответ: $-(x - 6)(x + 4)$.

57 Разложите квадратный трёхчлен $3x^2 + 13x - 10$ на множители.

1) $3(x - 2)(x + 5)$;

2) $(x - \frac{2}{3})(x + 5)$;

3) $(3x - 2)(x + 5)$;

4) $(3x + 2)(x - 5)$.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Формула для разложения: $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

1. Нахождение корней уравнения

Решим уравнение $3x^2 + 13x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = 13$, $c = -10$.

Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$

2. Разложение на множители

Подставим коэффициент $a=3$ и найденные корни $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = -5$ в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3\left(x - \frac{2}{3}\right)(x - (-5)) = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)(x + 5)$

Для приведения к одному из предложенных видов, внесём множитель $3$ в первую скобку:

$3\left(x - \frac{2}{3}\right) = 3 \cdot x - 3 \cdot \frac{2}{3} = 3x - 2$

В результате получаем разложение:

$(3x - 2)(x + 5)$

Данное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $(3x - 2)(x + 5)$

58 Разложите квадратный трёхчлен $-4x^2 + 5x + 6$ на множители.

1) $-4(x + 3)(x + 2);$ 3) $(4x - 3)(x + 2);$

2) $(x - 2)\left(x + \frac{3}{4}\right);$ 4) $(2 - x)(4x + 3).$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем случае трёхчлен имеет вид $-4x^2 + 5x + 6$. Соответствующие коэффициенты: $a = -4$, $b = 5$, $c = 6$.

Сначала приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни:

$-4x^2 + 5x + 6 = 0$

Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-4)(6) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2(-4)} = \frac{-5 + 11}{-8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2(-4)} = \frac{-5 - 11}{-8} = \frac{-16}{-8} = 2$

Теперь подставим коэффициент $a = -4$ и найденные корни $x_1 = -\frac{3}{4}$ и $x_2 = 2$ в формулу разложения:

$-4x^2 + 5x + 6 = a(x - x_1)(x - x_2) = -4(x - (-\frac{3}{4}))(x - 2) = -4(x + \frac{3}{4})(x - 2)$

Чтобы привести полученное выражение к одному из предложенных вариантов, преобразуем его. Множитель $-4$ можно представить как произведение $4 \cdot (-1)$. Распределим множитель $4$ на первую скобку, а множитель $(-1)$ — на вторую:

$-4(x + \frac{3}{4})(x - 2) = [4 \cdot (x + \frac{3}{4})] \cdot [(-1) \cdot (x - 2)] = (4x + 3)(-x + 2)$

Поменяв слагаемые во второй скобке местами, получим:

$(4x + 3)(2 - x)$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Проверка. Раскроем скобки в выражении $(2 - x)(4x + 3)$:

$(2 - x)(4x + 3) = 2 \cdot 4x + 2 \cdot 3 - x \cdot 4x - x \cdot 3 = 8x + 6 - 4x^2 - 3x = -4x^2 + 5x + 6$

Результат совпадает с исходным трёхчленом, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: 4) $(2-x)(4x+3)$

59 Укажите квадратный трёхчлен, который нельзя разложить на множители.

1) $x^2 + 12x - 36$;

2) $x^2 - 12x + 36$;

3) $x^2 - 12x + 35$;

4) $x^2 + 12x + 37$.

Для того чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители с действительными коэффициентами, необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на множители.
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на множители.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 12x - 36$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=-36$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 144 + 144 = 288$.
Так как $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня, следовательно, его можно разложить на множители.
Ответ: можно разложить.

2) $x^2 - 12x + 36$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=-12$, $c=36$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$.
Так как $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (кратности 2), следовательно, его можно разложить на множители. Данный трёхчлен является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
Ответ: можно разложить.

3) $x^2 - 12x + 35$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=-12$, $c=35$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$.
Так как $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня, следовательно, его можно разложить на множители. Разложение имеет вид $(x-5)(x-7)$.
Ответ: можно разложить.

4) $x^2 + 12x + 37$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=37$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 144 - 148 = -4$.
Так как $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, и, следовательно, его нельзя разложить на множители.
Ответ: нельзя разложить.

Таким образом, из всех предложенных вариантов единственным квадратным трёхчленом, который нельзя разложить на множители, является $x^2 + 12x + 37$.

60 Укажите квадратный трёхчлен, который нельзя разложить на множители.

1) $x^2 + 16x + 64$;

2) $x^2 - 16x + 65$;

3) $x^2 - 16x + 63$;

4) $x^2 + 16x - 65$.

Для того чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант $D \ge 0$, то трёхчлен можно разложить на множители. Если $D < 0$, то трёхчлен разложить на множители с действительными коэффициентами нельзя. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 16x + 64$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 16$, $c = 64$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0$.

Так как $D=0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители. В данном случае это формула полного квадрата: $x^2 + 16x + 64 = (x+8)^2$.

2) $x^2 - 16x + 65$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 65$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 256 - 260 = -4$.

Так как $D < 0$, данный квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.

3) $x^2 - 16x + 63$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 63$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.

Так как $D > 0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители. Корни уравнения $x^2 - 16x + 63 = 0$ равны $x_1 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = 7$ и $x_2 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = 9$, поэтому разложение имеет вид $(x-7)(x-9)$.

4) $x^2 + 16x - 65$

Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = 16$, $c = -65$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 256 + 260 = 516$.

Так как $D > 0$, данный квадратный трёхчлен можно разложить на множители.

Таким образом, единственный квадратный трёхчлен из предложенных, который нельзя разложить на множители, это $x^2 - 16x + 65$, так как его дискриминант отрицательный.

Ответ: 2