Страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

76 Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат параллельно графику функции, изображённому на рис. 62.

1) $y = 3x$;

2) $y = 3 - x$;

3) $y = -3x$;

4) $y = -\frac{1}{3}x$.

Рис. 62

Для того чтобы задать формулой требуемую линейную функцию, необходимо определить её угловой коэффициент $k$ и свободный член $b$ в общем уравнении $y = kx + b$.

1. Согласно условию, график функции проходит через начало координат. Точка начала координат имеет координаты $(0, 0)$. Подставим эти значения в общее уравнение линейной функции:

$0 = k \cdot 0 + b$

Из этого равенства следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение искомой функции будет иметь вид $y = kx$.

2. По условию, график искомой функции параллелен графику, изображенному на рис. 62. Два графика линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, нам нужно найти угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке.

Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем две точки на графике, через которые проходит прямая. Удобно взять точки с целочисленными координатами. Из рисунка видно, что прямая проходит через точки $A(0, 1)$ и $B(1, -2)$.

Угловой коэффициент вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A и B в формулу:

$k = \frac{-2 - 1}{1 - 0} = \frac{-3}{1} = -3$

Таким образом, угловой коэффициент прямой на графике равен -3.

3. Поскольку искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также равен -3. Подставим значения $k = -3$ и $b = 0$ в общее уравнение $y = kx + b$, чтобы получить итоговую формулу:

$y = -3x + 0$

$y = -3x$

Сравнив полученную формулу с предложенными вариантами, мы видим, что она соответствует варианту 3).

Ответ: 3) $y = -3x$.

77 Установите соответствие между графическим и аналитическим заданием функции (рис. 63).

1) $y = 4 - x$;

2) $y = -4x$;

3) $y = x - 4$;

4) $y = 4x$.

A

Б

B

Рис. 63

Для установления соответствия между графиками и аналитическим заданием функций проанализируем каждую функцию и каждый график. Все функции являются линейными и задаются уравнением вида $y = kx + b$.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, то функция возрастает (график идет вверх слева направо). Если $k < 0$, то функция убывает (график идет вниз слева направо).
• Коэффициент $b$ (свободный член) определяет точку пересечения прямой с осью ординат ($Oy$). График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, b)$.

Рассмотрим предложенные функции:

1. $y = 4 - x$: Угловой коэффициент $k = -1$ (убывающая), пересечение с $Oy$ в точке $(0, 4)$.
2. $y = -4x$: Угловой коэффициент $k = -4$ (убывающая), пересечение с $Oy$ в точке $(0, 0)$.
3. $y = x - 4$: Угловой коэффициент $k = 1$ (возрастающая), пересечение с $Oy$ в точке $(0, -4)$.
4. $y = 4x$: Угловой коэффициент $k = 4$ (возрастающая), пересечение с $Oy$ в точке $(0, 0)$.

Теперь сопоставим каждый график с соответствующей функцией.

А

График А — это прямая, которая проходит через начало координат, следовательно, $b=0$. Также график является возрастающим, значит, угловой коэффициент $k > 0$. Этим двум условиям удовлетворяет только функция 4) $y = 4x$. Для проверки найдем значение функции в точке $x=1$. По графику видно, что $y(1)=4$. Подставляя в уравнение $y=4x$, получаем: $y = 4 \cdot 1 = 4$. Соответствие установлено верно.

Ответ: А - 4.

Б

График Б — это возрастающая прямая ($k > 0$), которая пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -4)$, следовательно, $b=-4$. Этим условиям удовлетворяет функция 3) $y = x - 4$. В этой функции $k=1$ и $b=-4$. Проверим точку пересечения с осью $Ox$. На графике это точка $(4, 0)$. Подставим в уравнение: $0 = 4 - 4$. Равенство верное. Соответствие установлено верно.

Ответ: Б - 3.

В

График В — это убывающая прямая ($k < 0$), которая пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 4)$, следовательно, $b=4$. Этим условиям удовлетворяет функция 1) $y = 4 - x$, которую можно записать как $y = -x + 4$. В этой функции $k=-1$ и $b=4$. Проверим точку пересечения с осью $Ox$. На графике это точка $(4, 0)$. Подставим в уравнение: $0 = 4 - 4$. Равенство верное. Соответствие установлено верно.

Ответ: В - 1.

78 Установите соответствие между графическим и аналитическим заданием функции (рис. 64).

1) $y = -4x$; 2) $y = -4 - x$; 3) $y = x + 4$; 4) $y = 4 - x$.

A

Б

В

Рис. 64

А. Проанализируем график под буквой А. Это прямая, уравнение которой имеет общий вид $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. Он равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. График А пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$. Следовательно, $b = -4$.

2. Определим угловой коэффициент $k$. График является убывающим (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается), поэтому $k < 0$. Для нахождения точного значения $k$ выберем на графике еще одну точку, например, $(-4, 0)$. Рассчитаем коэффициент по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-4)}{-4 - 0} = \frac{4}{-4} = -1$.

3. Уравнение прямой на графике А: $y = -1 \cdot x - 4$, или $y = -x - 4$.

4. Среди предложенных аналитических выражений этому уравнению соответствует функция под номером 2) $y = -4 - x$.

Ответ: 2

Б. Проанализируем график под буквой Б. Это также прямая с уравнением вида $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. График Б пересекает ось $y$ в точке $(0, 4)$. Следовательно, $b = 4$.

2. Определим угловой коэффициент $k$. График является возрастающим (с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается), поэтому $k > 0$. Для нахождения точного значения $k$ выберем на графике еще одну точку, например, $(-4, 0)$. Рассчитаем коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 4}{-4 - 0} = \frac{-4}{-4} = 1$.

3. Уравнение прямой на графике Б: $y = 1 \cdot x + 4$, или $y = x + 4$.

4. Этому уравнению соответствует функция под номером 3) $y = x + 4$.

Ответ: 3

В. Проанализируем график под буквой В. Это прямая с уравнением вида $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. График В проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Следовательно, $b = 0$. Уравнение имеет вид $y = kx$.

2. Определим угловой коэффициент $k$. График является убывающим, поэтому $k < 0$. Для нахождения точного значения $k$ выберем на графике еще одну точку, например, $(1, -4)$. Рассчитаем коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 0}{1 - 0} = -4$.

3. Уравнение прямой на графике В: $y = -4x$.

4. Этому уравнению соответствует функция под номером 1) $y = -4x$.

Ответ: 1