Страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

95 a) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 2x + 3$ на отрезке $[-2; -1]$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 - 4x + 5$ на отрезке $[-1; 0]$.

а)

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = x^2 - 2x + 3$ на отрезке $[-2; -1]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = 1$, $b = -2$.
$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

2. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x_0 = 1$ заданному отрезку $[-2; -1]$.
Поскольку $1$ не входит в отрезок $[-2; -1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться на одном из его концов.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка, то есть при $x = -2$ и $x = -1$.
При $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$.
При $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$.

4. Сравниваем полученные значения: $11$ и $6$. Наименьшее из них равно $6$.

Ответ: 6.

б)

Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции $y = -x^2 - 4x + 5$ на отрезке $[-1; 0]$ выполним аналогичные действия. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = -1$, $b = -4$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.

2. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x_0 = -2$ заданному отрезку $[-1; 0]$.
Поскольку $-2$ не входит в отрезок $[-1; 0]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться на одном из его концов.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка, то есть при $x = -1$ и $x = 0$.
При $x = -1$:
$y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8$.
При $x = 0$:
$y(0) = -(0)^2 - 4(0) + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$.

4. Сравниваем полученные значения: $8$ и $5$. Наибольшее из них равно $8$.

Ответ: 8.

96 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на отрезке $[-1; 2]$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -3x^2 + 12x - 8$ на отрезке $[0, 4]$.

а) Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на отрезке $[-1, 2]$ необходимо найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наименьшее.

1. Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 - 4x + 1)' = 4x - 4$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x - 4 = 0$
$4x = 4$
$x = 1$

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка отрезку $[-1, 2]$.
Так как $-1 \le 1 \le 2$, точка $x = 1$ принадлежит данному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:
$y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$
$y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 2(1) + 4 + 1 = 7$
$y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 2(4) - 8 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$

5. Сравниваем полученные значения: $-1$, $7$ и $1$. Наименьшее из них равно $-1$.

Ответ: -1

б) Для нахождения наибольшего значения функции $y = -3x^2 + 12x - 8$ на отрезке $[0, 4]$ воспользуемся тем же алгоритмом.

1. Найдем производную функции:
$y' = (-3x^2 + 12x - 8)' = -6x + 12$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-6x + 12 = 0$
$-6x = -12$
$x = 2$

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка отрезку $[0, 4]$.
Так как $0 \le 2 \le 4$, точка $x = 2$ принадлежит данному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=4$:
$y(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 8 = -3(4) + 24 - 8 = -12 + 24 - 8 = 4$
$y(0) = -3(0)^2 + 12(0) - 8 = 0 + 0 - 8 = -8$
$y(4) = -3(4)^2 + 12(4) - 8 = -3(16) + 48 - 8 = -48 + 48 - 8 = -8$

5. Сравниваем полученные значения: $4$, $-8$ и $-8$. Наибольшее из них равно $4$.

Ответ: 4

97 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 + 3x - 2$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -5x^2 + 6x - 1$.

а)

Данная функция $y = 2x^2 + 3x - 2$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ $y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции. Это значение и будет наименьшим значением функции: $y_{наим} = y(-\frac{3}{4}) = 2 \cdot (-\frac{3}{4})^2 + 3 \cdot (-\frac{3}{4}) - 2$ $y_{наим} = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{18}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9 - 18 - 16}{8} = -\frac{25}{8}$

Наименьшее значение функции равно $-\frac{25}{8}$, что в десятичной форме составляет $-3.125$.

Ответ: $-\frac{25}{8}$

б)

Данная функция $y = -5x^2 + 6x - 1$ также является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Используем ту же формулу для нахождения абсциссы вершины. В данном случае коэффициенты равны $a = -5$, $b = 6$, $c = -1$. $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{6}{-10} = \frac{3}{5}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции. Это значение и будет наибольшим значением функции: $y_{наиб} = y(\frac{3}{5}) = -5 \cdot (\frac{3}{5})^2 + 6 \cdot (\frac{3}{5}) - 1$ $y_{наиб} = -5 \cdot \frac{9}{25} + \frac{18}{5} - 1 = -\frac{45}{25} + \frac{18}{5} - 1 = -\frac{9}{5} + \frac{18}{5} - \frac{5}{5} = \frac{-9 + 18 - 5}{5} = \frac{4}{5}$

Наибольшее значение функции равно $\frac{4}{5}$, что в десятичной форме составляет $0.8$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

98 Укажите промежуток возрастания функции $y = x^2 - 3x + 4$.

1) $[0; +\infty);$

2) $[1,5; +\infty);$

3) $[-1,5; +\infty);$

4) $[3; +\infty).$

Чтобы найти промежуток возрастания функции $y = x^2 - 3x + 4$, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Анализ свойств параболы
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-3$, $c=4$.
Поскольку коэффициент $a = 1$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до своей вершины, а затем возрастает. Промежуток возрастания начинается от абсциссы (координаты $x$) вершины и продолжается до $+\infty$.
Абсцисса вершины параболы находится по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
Подставим значения $a=1$ и $b=-3$:
$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$
Следовательно, функция возрастает на промежутке $[1,5; +\infty)$.

Способ 2: Использование производной
Функция возрастает на том промежутке, где ее первая производная положительна ($y' > 0$).
Найдем производную функции $y = x^2 - 3x + 4$:
$y' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$
Теперь решим неравенство $y' > 0$, чтобы найти промежуток возрастания:
$2x - 3 > 0$
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1,5$
Таким образом, промежуток возрастания функции — $[1,5; +\infty)$.

Оба способа приводят к одинаковому результату. Сравнивая его с предложенными вариантами, видим, что правильным является вариант 2).
Ответ: $[1,5; +\infty)$

99. Укажите промежуток возрастания функции $y = -x^2 + 6x + 7$.

1) $(-\infty; 3]$;

2) $[3; +\infty)$;

3) $(-\infty; -3]$;

4) $[-3; +\infty)$.

Для нахождения промежутка возрастания функции $y = -x^2 + 6x + 7$ можно использовать два основных способа.

Способ 1: Анализ свойств параболы

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины. Точкой перегиба является вершина параболы. Таким образом, промежуток возрастания — это луч от $-\infty$ до абсциссы вершины параболы (включительно).

Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле:$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашей функции $y = -x^2 + 6x + 7$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 6$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Способ 2: Использование производной

Функция возрастает на тех промежутках, где ее первая производная положительна ($y' > 0$).

Найдем производную функции $y = -x^2 + 6x + 7$:

$y' = (-x^2 + 6x + 7)' = -2x + 6$

Теперь решим неравенство $y' > 0$, чтобы найти промежуток, на котором функция возрастает:

$-2x + 6 > 0$

$-2x > -6$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 3$

Это неравенство соответствует промежутку $(-\infty; 3]$.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант под номером 1.

Ответ: 1) $(-\infty; 3]$.

100 Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции

$y = 3x^2 - 10x + 3$.

1) $(0; \frac{1}{2})$;

2) $(\frac{1}{2}; \frac{8}{3})$;

3) $(\frac{8}{3}; \frac{10}{3})$;

4) $[\frac{1}{3}; \frac{10}{3}]$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = 3x^2 - 10x + 3$, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение: $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-10$, $c=3$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Таким образом, нули функции — это $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = 3$. Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежат оба этих числа.

1) $(0; \frac{1}{2})$
Число $\frac{1}{3}$ принадлежит этому промежутку, так как $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Однако число $3$ не принадлежит, так как $3 > \frac{1}{2}$.

2) $(\frac{1}{2}; \frac{8}{3})$
Число $\frac{1}{3}$ не принадлежит этому промежутку, так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

3) $(\frac{8}{3}; \frac{10}{3})$
Число $\frac{1}{3}$ не принадлежит этому промежутку, так как $\frac{1}{3} < \frac{8}{3}$.

4) $[\frac{1}{3}; \frac{10}{3}]$
Это отрезок, который включает свои концы. Первый нуль $x_1 = \frac{1}{3}$ является левой границей отрезка и поэтому принадлежит ему. Второй нуль $x_2 = 3$. Представим $3$ в виде дроби со знаменателем 3: $3 = \frac{9}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \le \frac{9}{3} \le \frac{10}{3}$, число $3$ также принадлежит этому отрезку. Оба нуля функции принадлежат данному промежутку.

Ответ: 4.