Страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

89 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 69.

1) $y = 2x^2$; 2) $y = x^2 + 2$; 3) $y = (x + 2)^2$; 4) $y = (x - 2)^2$.

Рис. 69

Для определения аналитического вида квадратичной функции, изображенной на графике, воспользуемся вершинной формой записи уравнения параболы: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты вершины параболы.

1. Определение вершины параболы. Из рисунка 69 видно, что вершина параболы (ее самая нижняя точка) находится в точке с координатами $(2, 0)$. Таким образом, $x_0 = 2$ и $y_0 = 0$.

2. Подстановка координат вершины в уравнение. Подставив найденные координаты в общую формулу, получаем уравнение вида: $y = a(x - 2)^2 + 0$ $y = a(x - 2)^2$

3. Сравнение с предложенными вариантами. Теперь проанализируем данные варианты ответов, чтобы найти тот, который соответствует полученной нами форме и положению вершины.

1) $y = 2x^2$
Это уравнение можно записать как $y = 2(x - 0)^2 + 0$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 0)$. Это не соответствует графику.

2) $y = x^2 + 2$
Это уравнение можно записать как $y = (x - 0)^2 + 2$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 2)$. Это не соответствует графику.

3) $y = (x + 2)^2$
Это уравнение можно записать как $y = (x - (-2))^2 + 0$. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 0)$. Это не соответствует графику.

4) $y = (x - 2)^2$
Это уравнение можно записать как $y = (x - 2)^2 + 0$. Вершина этой параболы находится в точке $(2, 0)$. Это полностью соответствует положению вершины на графике.

4. Проверка. Для полной уверенности можно проверить, проходит ли график функции $y = (x - 2)^2$ через другие точки, видимые на рисунке. Например, через точку пересечения с осью OY, которая имеет координаты $(0, 4)$.
Подставим $x=0$ в уравнение:
$y = (0 - 2)^2 = (-2)^2 = 4$.
Координаты точки $(0, 4)$ удовлетворяют уравнению, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: 4) $y = (x - 2)^2$.

90 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 70.

1) $y = x^2 + 1$;

2) $y = -(x + 1)^2$;

3) $y = -x^2 + 1$;

4) $y = -(x - 1)^2$.

Рис. 70

Для того чтобы определить, какая из предложенных формул задает функцию, график которой изображен на рисунке, необходимо проанализировать свойства этого графика и сравнить их со свойствами функций из каждого варианта ответа.

Основные свойства параболы на рисунке 70:

1. Ветви параболы направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент $a$) должен быть отрицательным ($a < 0$).

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$.

Теперь поочередно проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = x^2 + 1$
В этой функции коэффициент при $x^2$ равен $1$. Так как $1 > 0$, ветви этой параболы направлены вверх, что противоречит графику.

2) $y = -(x + 1)^2$
Это парабола, заданная в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Здесь вершина находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (-1, 0)$. Это не соответствует вершине на графике, которая находится в точке $(0, 1)$.

3) $y = -x^2 + 1$
Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, что соответствует графику. Найдем вершину этой параболы. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = -0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 1)$, что также соответствует графику. Этот вариант является правильным.

4) $y = -(x - 1)^2$
Это парабола с вершиной в точке $(x_0, y_0) = (1, 0)$. Положение вершины не соответствует графику.

Единственная функция, которая удовлетворяет всем свойствам графика, — это $y = -x^2 + 1$.

Ответ: 3) $y = -x^2 + 1$.

91 Используя рис. 71 (1–4), укажите график функции $y = x^2 + 4x - 5$.

1) 2) 3) Рис. 71

4)

Чтобы определить, какой из графиков на рис. 71 соответствует функции $y = x^2 + 4x - 5$, найдем ключевые характеристики этой функции и сравним их с представленными графиками.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Все четыре графика, представленные на рисунке, удовлетворяют этому условию.

Наиболее характерной точкой параболы является ее вершина. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$.
Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для функции $y = x^2 + 4x - 5$ имеем $a=1$ и $b=4$.
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ордината (координата y) вершины находится подстановкой найденного значения $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Таким образом, вершина параболы для заданной функции находится в точке с координатами $(-2, -9)$.

Теперь проанализируем графики, представленные на рисунках, определив координаты их вершин (масштаб сетки 1 клетка = 1 единица):
- На графике 1 вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.
- На графике 2 вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.
- На графике 3 вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$.
- На графике 4 вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$.

Сравнение показывает, что только графики под номерами 3 и 4 имеют вершину в точке $(-2, -9)$.

Для дополнительной проверки можно найти точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью OY происходит при $x=0$:
$y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
Пересечение с осью OX происходит при $y=0$:
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Графики 3 и 4 полностью соответствуют всем найденным характеристикам: вершина в $(-2, -9)$, пересечение с осью Y в $(0, -5)$ и пересечения с осью X в точках $(1, 0)$ и $(-5, 0)$. Поскольку графики 3 и 4 визуально идентичны, оба являются верным ответом. В задачах с выбором одного ответа обычно указывают первый из подходящих.

Ответ: 3