Номер 90, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

90 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 70.

1) $y = x^2 + 1$;

2) $y = -(x + 1)^2$;

3) $y = -x^2 + 1$;

4) $y = -(x - 1)^2$.

Рис. 70

Для того чтобы определить, какая из предложенных формул задает функцию, график которой изображен на рисунке, необходимо проанализировать свойства этого графика и сравнить их со свойствами функций из каждого варианта ответа.

Основные свойства параболы на рисунке 70:

1. Ветви параболы направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент $a$) должен быть отрицательным ($a < 0$).

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$.

Теперь поочередно проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = x^2 + 1$
В этой функции коэффициент при $x^2$ равен $1$. Так как $1 > 0$, ветви этой параболы направлены вверх, что противоречит графику.

2) $y = -(x + 1)^2$
Это парабола, заданная в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Здесь вершина находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (-1, 0)$. Это не соответствует вершине на графике, которая находится в точке $(0, 1)$.

3) $y = -x^2 + 1$
Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, что соответствует графику. Найдем вершину этой параболы. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = -0^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, 1)$, что также соответствует графику. Этот вариант является правильным.

4) $y = -(x - 1)^2$
Это парабола с вершиной в точке $(x_0, y_0) = (1, 0)$. Положение вершины не соответствует графику.

Единственная функция, которая удовлетворяет всем свойствам графика, — это $y = -x^2 + 1$.

Ответ: 3) $y = -x^2 + 1$.