Номер 97, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

97 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 + 3x - 2$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -5x^2 + 6x - 1$.

а)

Данная функция $y = 2x^2 + 3x - 2$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ $y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции. Это значение и будет наименьшим значением функции: $y_{наим} = y(-\frac{3}{4}) = 2 \cdot (-\frac{3}{4})^2 + 3 \cdot (-\frac{3}{4}) - 2$ $y_{наим} = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{18}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9 - 18 - 16}{8} = -\frac{25}{8}$

Наименьшее значение функции равно $-\frac{25}{8}$, что в десятичной форме составляет $-3.125$.

Ответ: $-\frac{25}{8}$

б)

Данная функция $y = -5x^2 + 6x - 1$ также является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Используем ту же формулу для нахождения абсциссы вершины. В данном случае коэффициенты равны $a = -5$, $b = 6$, $c = -1$. $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{6}{-10} = \frac{3}{5}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции. Это значение и будет наибольшим значением функции: $y_{наиб} = y(\frac{3}{5}) = -5 \cdot (\frac{3}{5})^2 + 6 \cdot (\frac{3}{5}) - 1$ $y_{наиб} = -5 \cdot \frac{9}{25} + \frac{18}{5} - 1 = -\frac{45}{25} + \frac{18}{5} - 1 = -\frac{9}{5} + \frac{18}{5} - \frac{5}{5} = \frac{-9 + 18 - 5}{5} = \frac{4}{5}$

Наибольшее значение функции равно $\frac{4}{5}$, что в десятичной форме составляет $0.8$.

Ответ: $\frac{4}{5}$