Номер 101, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

101 Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции

$y = -4x^2 + 13x + 12.$

1) $(-\infty; -\frac{1}{2});$

2) $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4});$

3) $(\frac{13}{4}; +\infty);$

4) $[-\frac{7}{8}; \frac{17}{4}].$

Для того чтобы найти нули функции $y = -4x^2 + 13x + 12$, необходимо найти значения $x$, при которых $y=0$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

$-4x^2 + 13x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$4x^2 - 13x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=4$, $b=-13$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.

Корни уравнения (нули функции) находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + 19}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 19}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-13) - 19}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 19}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Таким образом, нули функции равны $4$ и $-\frac{3}{4}$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежат оба этих нуля. В вопросе используется множественное число "нули", поэтому ищем промежуток, содержащий оба корня.

1) $(-\infty; -\frac{1}{2})$

В десятичной форме это промежуток $(-\infty; -0.5)$. Нуль функции $x_2 = -\frac{3}{4} = -0.75$ принадлежит этому промежутку, но нуль $x_1 = 4$ ему не принадлежит. Значит, этот вариант не является верным.

2) $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$

В десятичной форме это промежуток $(-0.5; 0.25)$. Ни один из нулей функции, ни $4$, ни $-\frac{3}{4}$, не входит в данный промежуток. Значит, этот вариант не является верным.

3) $(\frac{13}{4}; +\infty)$

В десятичной форме это промежуток $(3.25; +\infty)$. Нуль функции $x_1 = 4$ принадлежит этому промежутку, но нуль $x_2 = -\frac{3}{4}$ ему не принадлежит. Значит, этот вариант не является верным.

4) $[-\frac{7}{8}; \frac{17}{4}]$

Переведем границы промежутка в десятичную форму: $-\frac{7}{8} = -0.875$ и $\frac{17}{4} = 4.25$. Промежуток имеет вид $[-0.875; 4.25]$.
Проверим принадлежность нулей этому промежутку:
Для $x_2 = -\frac{3}{4} = -0.75$: выполняется неравенство $-0.875 \le -0.75 \le 4.25$.
Для $x_1 = 4$: выполняется неравенство $-0.875 \le 4 \le 4.25$.
Оба нуля функции принадлежат данному промежутку. Следовательно, это правильный вариант.

Ответ: 4