Номер 107, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

107 При каких значениях $x$ функция $y = -x^2 + 6x - 16$ принимает положительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $(0,5; 5,5)$;

4) $(-\infty; 0,5) \cup (5,5; +\infty)$.

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -x^2 + 6x - 16$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 + 6x - 16 > 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 6x - 16$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a = -1 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (ось $Ox$) и в каких точках, найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$-x^2 + 6x - 16 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 6x + 16 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=16$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком находится ниже оси $Ox$. Это значит, что значения функции $y = -x^2 + 6x - 16$ всегда отрицательны при любых значениях $x$.

Также можно найти вершину параболы, чтобы определить ее максимальное значение. Координата вершины $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Теперь найдем значение функции в этой точке, $y_0$:

$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 16 = -9 + 18 - 16 = 9 - 16 = -7$

Вершина параболы находится в точке $(3; -7)$. Так как ветви параболы направлены вниз, то $y_0 = -7$ является максимальным значением функции. Поскольку максимальное значение функции отрицательно, она не может принимать положительных значений.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 6x - 16 > 0$ не имеет решений.

Среди предложенных вариантов ответа этому выводу соответствует вариант 2.

Ответ: 2) таких значений x нет.