Номер 102, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

102 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 7x - 8$ принимает неотрицательные значения?

1) $[8; +\infty)$;

2) $[-1; 8];

3) $(-\infty; -1] \cup [8; +\infty)$;

4) $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty).

Задача состоит в том, чтобы найти все значения x, при которых функция y = x² - 7x - 8 принимает неотрицательные значения. Это означает, что нам нужно решить неравенство y ≥ 0.

Подставим выражение для функции в неравенство:

x² - 7x - 8 ≥ 0

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x² - 7x - 8 = 0. Мы можем сделать это с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

1. Нахождение корней через дискриминант:

Формула дискриминанта: D = b² - 4ac. В нашем случае коэффициенты a = 1, b = -7, c = -8.

D = (-7)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-8) = 49 + 32 = 81

Поскольку D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле:

x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}

x₁ = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 ⋅ 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1

x₂ = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 ⋅ 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8

Корни уравнения: x₁ = -1 и x₂ = 8.

2. Решение неравенства методом интервалов:

Графиком функции y = x² - 7x - 8 является парабола. Так как коэффициент при x² (a = 1) положителен, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках x = -1 и x = 8.

Нас интересуют значения x, при которых y ≥ 0, то есть где график функции находится на оси абсцисс или выше неё. Для параболы с ветвями вверх это происходит на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства можно записать как x ≤ -1 или x ≥ 8.

В виде объединения промежутков решение выглядит так: (-∞; -1] ∪ [8; +∞).

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами:

1) [8; +∞) – неполное решение.

2) [-1; 8] – решение для неравенства x² - 7x - 8 ≤ 0.

3) (-∞; -1] ∪ [8; +∞) – соответствует нашему решению.

4) (-∞; -1) ∪ (8; +∞) – решение для строгого неравенства x² - 7x - 8 > 0.

Правильный вариант ответа — 3.

Ответ: 3) (-∞; -1] ∪ [8; +∞).