Номер 99, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

99. Укажите промежуток возрастания функции $y = -x^2 + 6x + 7$.

1) $(-\infty; 3]$;

2) $[3; +\infty)$;

3) $(-\infty; -3]$;

4) $[-3; +\infty)$.

Для нахождения промежутка возрастания функции $y = -x^2 + 6x + 7$ можно использовать два основных способа.

Способ 1: Анализ свойств параболы

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины. Точкой перегиба является вершина параболы. Таким образом, промежуток возрастания — это луч от $-\infty$ до абсциссы вершины параболы (включительно).

Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле:$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашей функции $y = -x^2 + 6x + 7$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 6$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Способ 2: Использование производной

Функция возрастает на тех промежутках, где ее первая производная положительна ($y' > 0$).

Найдем производную функции $y = -x^2 + 6x + 7$:

$y' = (-x^2 + 6x + 7)' = -2x + 6$

Теперь решим неравенство $y' > 0$, чтобы найти промежуток, на котором функция возрастает:

$-2x + 6 > 0$

$-2x > -6$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 3$

Это неравенство соответствует промежутку $(-\infty; 3]$.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант под номером 1.

Ответ: 1) $(-\infty; 3]$.