Номер 96, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

96 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на отрезке $[-1; 2]$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -3x^2 + 12x - 8$ на отрезке $[0, 4]$.

а) Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на отрезке $[-1, 2]$ необходимо найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наименьшее.

1. Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 - 4x + 1)' = 4x - 4$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x - 4 = 0$
$4x = 4$
$x = 1$

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка отрезку $[-1, 2]$.
Так как $-1 \le 1 \le 2$, точка $x = 1$ принадлежит данному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:
$y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$
$y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 2(1) + 4 + 1 = 7$
$y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 2(4) - 8 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$

5. Сравниваем полученные значения: $-1$, $7$ и $1$. Наименьшее из них равно $-1$.

Ответ: -1

б) Для нахождения наибольшего значения функции $y = -3x^2 + 12x - 8$ на отрезке $[0, 4]$ воспользуемся тем же алгоритмом.

1. Найдем производную функции:
$y' = (-3x^2 + 12x - 8)' = -6x + 12$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-6x + 12 = 0$
$-6x = -12$
$x = 2$

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка отрезку $[0, 4]$.
Так как $0 \le 2 \le 4$, точка $x = 2$ принадлежит данному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=4$:
$y(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 8 = -3(4) + 24 - 8 = -12 + 24 - 8 = 4$
$y(0) = -3(0)^2 + 12(0) - 8 = 0 + 0 - 8 = -8$
$y(4) = -3(4)^2 + 12(4) - 8 = -3(16) + 48 - 8 = -48 + 48 - 8 = -8$

5. Сравниваем полученные значения: $4$, $-8$ и $-8$. Наибольшее из них равно $4$.

Ответ: 4