Номер 94, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

94 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 74.

1) $y = -x^2 + 2x + 3$;

2) $y = -x^2 - 4x - 1$;

3) $y = -x^2 - 4x + 7$;

4) $y = -x^2 + 4x - 1$.

Рис. 74

Для того чтобы определить, какая из предложенных аналитических записей квадратичной функции соответствует графику на рис. 74, мы найдем ключевые характеристики параболы по графику и проверим, какому из уравнений они удовлетворяют.

Из графика видно, что это парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, что выполняется для всех четырех вариантов.

Наиболее точный способ — определить координаты вершины параболы. По графику видно, что вершина находится в точке с координатами $(-2, 3)$.

Теперь проверим, для какой из предложенных функций вершина будет находиться в этой точке. Координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляются по формулам: $x_v = -b/(2a)$, $y_v = y(x_v)$.

1) $y = -x^2 + 2x + 3$

В этой функции $a = -1$, $b = 2$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / (-2) = 1$. Полученное значение $x_v = 1$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = -2$). Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $y = -x^2 - 4x - 1$

В этой функции $a = -1$, $b = -4$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$. Это значение совпадает с абсциссой вершины на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v = -2$ в уравнение функции: $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) - 1 = -(4) + 8 - 1 = 3$. Координаты вершины $(-2, 3)$ полностью совпадают с вершиной на графике. Этот вариант является правильным.

3) $y = -x^2 - 4x + 7$

В этой функции $a = -1$, $b = -4$. Абсцисса вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = -2$. Абсцисса совпадает, но найдем ординату вершины: $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 7 = -4 + 8 + 7 = 11$. Полученная ордината $y_v = 11$ не совпадает с ординатой вершины на графике ($y_v = 3$). Следовательно, этот вариант не подходит.

4) $y = -x^2 + 4x - 1$

В этой функции $a = -1$, $b = 4$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -4 / (2 \cdot (-1)) = -4 / (-2) = 2$. Полученное значение $x_v = 2$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = -2$). Следовательно, этот вариант не подходит.

Ответ: $y = -x^2 - 4x - 1$.