Номер 100, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

100 Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции

$y = 3x^2 - 10x + 3$.

1) $(0; \frac{1}{2})$;

2) $(\frac{1}{2}; \frac{8}{3})$;

3) $(\frac{8}{3}; \frac{10}{3})$;

4) $[\frac{1}{3}; \frac{10}{3}]$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = 3x^2 - 10x + 3$, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение: $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-10$, $c=3$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Таким образом, нули функции — это $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = 3$. Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежат оба этих числа.

1) $(0; \frac{1}{2})$
Число $\frac{1}{3}$ принадлежит этому промежутку, так как $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Однако число $3$ не принадлежит, так как $3 > \frac{1}{2}$.

2) $(\frac{1}{2}; \frac{8}{3})$
Число $\frac{1}{3}$ не принадлежит этому промежутку, так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

3) $(\frac{8}{3}; \frac{10}{3})$
Число $\frac{1}{3}$ не принадлежит этому промежутку, так как $\frac{1}{3} < \frac{8}{3}$.

4) $[\frac{1}{3}; \frac{10}{3}]$
Это отрезок, который включает свои концы. Первый нуль $x_1 = \frac{1}{3}$ является левой границей отрезка и поэтому принадлежит ему. Второй нуль $x_2 = 3$. Представим $3$ в виде дроби со знаменателем 3: $3 = \frac{9}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \le \frac{9}{3} \le \frac{10}{3}$, число $3$ также принадлежит этому отрезку. Оба нуля функции принадлежат данному промежутку.

Ответ: 4.