Номер 106, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

106 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 3x + 10$ принимает неотрицательные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $[-5; -2]$;

4) $(-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^2 + 3x + 10$ принимает неотрицательные значения, нужно решить неравенство $y \ge 0$.

Подставим выражение для $y$ в неравенство:

$x^2 + 3x + 10 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $f(x) = x^2 + 3x + 10$. Её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=3$ и $c=10$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше этой оси. Это означает, что значение функции $y = x^2 + 3x + 10$ является положительным при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + 3x + 10 \ge 0$ верно для всех действительных значений $x$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: 1) $(-\infty; +\infty)$.