Номер 113, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

113 Установите соответствие между аналитическим и графическим заданием функции (рис. 77).

1) $y = \frac{4}{x - 1}$;

2) $y = \frac{4}{x + 1}$;

3) $y = \frac{4}{x} + 1$;

4) $y = -\frac{4}{x - 1}$.

Рис. 77

Для установления соответствия между функциями и их графиками проанализируем каждую функцию. Графиком каждой из данных функций является гипербола, которая получается из графика функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью сдвигов вдоль координатных осей. Общий вид уравнения такой гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ — вертикальная асимптота, а $y=b$ — горизонтальная асимптота. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$: если $k>0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот; если $k<0$ — во второй и четвертой.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x-1}$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4$. Так как $k > 0$, ее ветви должны располагаться в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот.

Знаменатель дроби обращается в ноль при $x=1$, следовательно, вертикальная асимптота графика — прямая $x=1$.

Слагаемое, отвечающее за сдвиг по вертикали, равно нулю, значит, горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).

Таким образом, нам нужен график с асимптотами $x=1$, $y=0$ и ветвями в I и III четвертях. На рисунке 77 есть график с такими асимптотами (верхний правый), но его ветви расположены во II и IV четвертях. Следовательно, для данной функции нет соответствующего графика.

Ответ: Для функции $y = \frac{4}{x-1}$ на рисунке 77 нет соответствующего графика.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x+1}$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ее ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота определяется из условия $x+1=0$, то есть $x=-1$.

Горизонтальная асимптота — $y=0$.

На рисунке 77 верхний левый график имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой (при $x > -1$, $y > 0$) и третьей (при $x < -1$, $y < 0$) четвертях относительно этих асимптот, что соответствует знаку $k=4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = \frac{4}{x+1}$ соответствует верхний левый график на рисунке 77.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x} + 1$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ее ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота — прямая $x=0$ (ось Oy).

График сдвинут на 1 единицу вверх, следовательно, горизонтальная асимптота — прямая $y=1$.

На рисунке 77 нижний график имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот (0, 1), что соответствует знаку $k=4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = \frac{4}{x} + 1$ соответствует нижний график на рисунке 77.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{4}{x-1}$.

Эту функцию можно записать как $y = \frac{-4}{x-1}$. Это гипербола, у которой коэффициент $k=-4 < 0$, поэтому ее ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота определяется из условия $x-1=0$, то есть $x=1$.

Горизонтальная асимптота — $y=0$.

На рисунке 77 верхний правый график имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй (при $x < 1$, $y > 0$) и четвертой (при $x > 1$, $y < 0$) четвертях относительно этих асимптот, что соответствует знаку $k=-4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = -\frac{4}{x-1}$ соответствует верхний правый график на рисунке 77.