Страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5. Является ли последовательность $2, 5, 8, 11, \dots$ арифметической прогрессией? Если да, то найдите её $17$-й член; $41$-й член.

Является ли последовательность 2, 5, 8, 11, ... арифметической прогрессией?
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$).
Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами. Обозначим члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, a_4, ...$:
$a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 8$, $a_4 = 11$.
Найдем разности:
$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$
$a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3$
$a_4 - a_3 = 11 - 8 = 3$
Так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 3, то данная последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $a_1 = 2$, а разность $d = 3$.
Ответ: Да, является.

17-й член
Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
В нашем случае первый член $a_1 = 2$, разность $d = 3$ и номер искомого члена $n = 17$.
Подставим эти значения в формулу:
$a_{17} = 2 + (17 - 1) \cdot 3 = 2 + 16 \cdot 3 = 2 + 48 = 50$.
Ответ: 50.

41-й член
Используем ту же формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Здесь $a_1 = 2$, $d = 3$ и номер искомого члена $n = 41$.
Подставим значения в формулу:
$a_{41} = 2 + (41 - 1) \cdot 3 = 2 + 40 \cdot 3 = 2 + 120 = 122$.
Ответ: 122.

6. Запишите формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ существуют две основные формулы. Выбор конкретной формулы зависит от того, какие параметры прогрессии известны.

Первая формула применяется, когда известны первый член прогрессии ($a_1$), $n$-й член ($a_n$) и количество суммируемых членов ($n$). Согласно этой формуле, сумма равна произведению полусуммы первого и $n$-го членов на их количество.
Формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Вторая формула используется, когда известны первый член ($a_1$), разность арифметической прогрессии ($d$) и количество членов ($n$). Эта формула является следствием первой, если в нее подставить выражение для нахождения $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
Формула: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

7. Является ли последовательность $3, 1, -1, -3, ...$ арифметической прогрессией? Если да, то найдите сумму первых двадцати её членов.

Является ли последовательность 3, 1, –1, –3, … арифметической прогрессией?

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии и обозначается $d$.

Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами. Обозначим члены последовательности: $a_1=3$, $a_2=1$, $a_3=-1$, $a_4=-3$.

Вычислим разности:
$d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$
$d = a_3 - a_2 = -1 - 1 = -2$
$d = a_4 - a_3 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$

Поскольку разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна $-2$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

Если да, то найдите сумму первых двадцати её членов.

Мы установили, что заданная последовательность — это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 3$ и разность $d = -2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Нам необходимо найти сумму первых двадцати членов, то есть $n=20$. Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + (-2)(20 - 1)}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{6 - 2 \cdot 19}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{6 - 38}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{-32}{2} \cdot 20$
$S_{20} = -16 \cdot 20$
$S_{20} = -320$

Ответ: -320.

8. В чём состоит характеристическое свойство арифметической прогрессии?

Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что любой член последовательности, начиная со второго, является средним арифметическим для двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

Это свойство и дало название "арифметическая" прогрессия.

Если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то для любого натурального числа $n > 1$ верна формула:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Доказательство:

По определению арифметической прогрессии с разностью $d$:

$a_n = a_{n-1} + d$

$a_{n+1} = a_n + d$

Из второго уравнения выразим $a_n$:

$a_n = a_{n+1} - d$

Теперь сложим два выражения для $a_n$:

$a_n + a_n = (a_{n-1} + d) + (a_{n+1} - d)$

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделив обе части на 2, получим искомое свойство:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Пример:

Рассмотрим арифметическую прогрессию: 5, 9, 13, 17, 21, ...

Проверим свойство для члена $a_3 = 13$. Его соседи — это $a_2 = 9$ и $a_4 = 17$.

Найдём их среднее арифметическое:

$\frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Результат совпадает со значением $a_3$, что подтверждает характеристическое свойство.

Ответ: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, что выражается формулой $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ для всех $n \ge 2$.

9. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Известно, что $a_{35} = 43$, $a_{37} = 49$. Найдите $a_{36}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии, согласно которому каждый член последовательности, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это свойство можно записать в виде формулы:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

В данной задаче нам нужно найти член прогрессии $a_{36}$, зная предыдущий член $a_{35}$ и последующий член $a_{37}$.

Нам известны значения:

$a_{35} = 43$

$a_{37} = 49$

Применим свойство среднего арифметического для $n=36$:

$a_{36} = \frac{a_{35} + a_{37}}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$a_{36} = \frac{43 + 49}{2}$

Выполним вычисления:

$a_{36} = \frac{92}{2}$

$a_{36} = 46$

Ответ: 46

112 Укажите функцию, графиком которой не является гипербола.

1) $y = \frac{4}{x - 1}$;

2) $y = \frac{4}{x} - 1$;

3) $y = x^{-1}$;

4) $y = \frac{x - 1}{4}$.

Чтобы определить, какая из предложенных функций не имеет своим графиком гиперболу, необходимо проанализировать вид каждой функции. Графиком функции является гипербола, если ее можно представить в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k \neq 0$.

1) $y = \frac{4}{x-1}$

Данная функция полностью соответствует общему виду гиперболы $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь коэффициент $k=4$, смещение по горизонтали $a=1$, а смещение по вертикали $b=0$. Следовательно, график этой функции — гипербола.

Ответ: графиком является гипербола.

2) $y = \frac{4}{x} - 1$

Эта функция также является гиперболой, представленной в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь коэффициент $k=4$, смещение по горизонтали $a=0$, а смещение по вертикали $b=-1$. Следовательно, график этой функции — гипербола.

Ответ: графиком является гипербола.

3) $y = x^{-1}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем, перепишем функцию в виде $y = \frac{1}{x}$. Это канонический вид функции, графиком которой является гипербола. Здесь $k=1$, $a=0$ и $b=0$.

Ответ: графиком является гипербола.

4) $y = \frac{x-1}{4}$

Преобразуем данную функцию, разделив числитель почленно на знаменатель: $y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$. Эту запись можно представить в виде $y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$. Это уравнение вида $y=mx+c$, которое задает линейную функцию. Графиком линейной функции является прямая линия.

Ответ: графиком не является гипербола.

113 Установите соответствие между аналитическим и графическим заданием функции (рис. 77).

1) $y = \frac{4}{x - 1}$;

2) $y = \frac{4}{x + 1}$;

3) $y = \frac{4}{x} + 1$;

4) $y = -\frac{4}{x - 1}$.

Рис. 77

Для установления соответствия между функциями и их графиками проанализируем каждую функцию. Графиком каждой из данных функций является гипербола, которая получается из графика функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью сдвигов вдоль координатных осей. Общий вид уравнения такой гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ — вертикальная асимптота, а $y=b$ — горизонтальная асимптота. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$: если $k>0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот; если $k<0$ — во второй и четвертой.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x-1}$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4$. Так как $k > 0$, ее ветви должны располагаться в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот.

Знаменатель дроби обращается в ноль при $x=1$, следовательно, вертикальная асимптота графика — прямая $x=1$.

Слагаемое, отвечающее за сдвиг по вертикали, равно нулю, значит, горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).

Таким образом, нам нужен график с асимптотами $x=1$, $y=0$ и ветвями в I и III четвертях. На рисунке 77 есть график с такими асимптотами (верхний правый), но его ветви расположены во II и IV четвертях. Следовательно, для данной функции нет соответствующего графика.

Ответ: Для функции $y = \frac{4}{x-1}$ на рисунке 77 нет соответствующего графика.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x+1}$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ее ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота определяется из условия $x+1=0$, то есть $x=-1$.

Горизонтальная асимптота — $y=0$.

На рисунке 77 верхний левый график имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой (при $x > -1$, $y > 0$) и третьей (при $x < -1$, $y < 0$) четвертях относительно этих асимптот, что соответствует знаку $k=4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = \frac{4}{x+1}$ соответствует верхний левый график на рисунке 77.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x} + 1$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ее ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота — прямая $x=0$ (ось Oy).

График сдвинут на 1 единицу вверх, следовательно, горизонтальная асимптота — прямая $y=1$.

На рисунке 77 нижний график имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот (0, 1), что соответствует знаку $k=4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = \frac{4}{x} + 1$ соответствует нижний график на рисунке 77.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{4}{x-1}$.

Эту функцию можно записать как $y = \frac{-4}{x-1}$. Это гипербола, у которой коэффициент $k=-4 < 0$, поэтому ее ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

Вертикальная асимптота определяется из условия $x-1=0$, то есть $x=1$.

Горизонтальная асимптота — $y=0$.

На рисунке 77 верхний правый график имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй (при $x < 1$, $y > 0$) и четвертой (при $x > 1$, $y < 0$) четвертях относительно этих асимптот, что соответствует знаку $k=-4$. Значит, этот график соответствует данной функции.

Ответ: Функции $y = -\frac{4}{x-1}$ соответствует верхний правый график на рисунке 77.