Страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

132 Соотнесите аналитическое и графическое задания функций (рис. 84, а—г).

1) $y = x^3$;

2) $y = x^2$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$.

а

б

в

г

Рис. 84

1) Функция $y = x^3$ — это кубическая парабола. Область определения и область значений этой функции — все действительные числа. Функция является нечетной, т.к. $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. Этим характеристикам соответствует график, изображенный на рисунке г.
Ответ: г.

2) Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Функция является четной, т.к. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси $y$). График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Этому описанию соответствует график на рисунке а.
Ответ: а.

3) Функция $y = \sqrt{x}$ определена только для неотрицательных значений $x$, то есть ее область определения — $x \in [0, \infty)$. Область значений также неотрицательна: $y \in [0, \infty)$. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает, проходя через точку $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Этот график представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси абсцисс. Данным условиям удовлетворяет график на рисунке б.
Ответ: б.

4) Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел $x$. Она является нечетной, так как $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$, и ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. Эта функция является обратной к функции $y = x^3$, и ее график получается из графика кубической параболы отражением относительно прямой $y=x$. Этим свойствам соответствует график на рисунке в.
Ответ: в.

133 Соотнесите аналитическое и графическое задания функций (рис. 85, а–г).

1) $y = \sqrt{x - 2}$; 3) $y = 2 - \sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt{x} - 2$; 4) $y = \sqrt{x} + 2$.

a

б

в

г

Рис. 85

Для соотнесения аналитического и графического заданий функций проанализируем каждую функцию, определяя, как её график получен из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ (параболическая ветвь, выходящая из начала координат).

1) Функция $y = \sqrt{x} - 2$. График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Следовательно, начальная точка графика (вершина) смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$. Этому описанию соответствует график б. Для проверки можно подставить значение $x=4$ в уравнение: $y = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$ действительно принадлежит графику б.
Ответ: б.

2) Функция $y = \sqrt{x - 2}$. График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Следовательно, начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$. Этому описанию соответствует график г. Область определения функции: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Для проверки подставим значение $x=6$: $y = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(6, 2)$ принадлежит графику г.
Ответ: г.

3) Функция $y = 2 - \sqrt{x}$. Эту запись можно представить в виде $y = -\sqrt{x} + 2$. Её график получается из графика $y = \sqrt{x}$ двумя преобразованиями: сначала симметричным отражением относительно оси Ox (из-за знака «минус» перед корнем), а затем сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy. Начальная точка графика смещается в точку $(0, 2)$, и ветви графика направлены вниз. Этому описанию соответствует график в. Для проверки подставим значение $x=4$: $y = 2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$ принадлежит графику в.
Ответ: в.

4) Функция $y = \sqrt{x + 2}$. График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Следовательно, начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$. Этому описанию соответствует график а. Область определения функции: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Для проверки подставим значение $x=2$: $y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику а.
Ответ: а.

134 Задайте аналитически функцию, график которой изображён на рис. 86.

1) $y = |x| - 2$;

2) $y = |x - 2|$;

3) $y = |x + 2|$;

4) $y = 2 - |x|.$

Рис. 86

Чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем каждый вариант.
График на рисунке представляет собой V-образную кривую, что является отличительной чертой функции модуля. Вершина графика (его самая нижняя точка) находится в точке с координатами $(0, -2)$.

1) $y = |x| - 2$

Данная функция описывает график базовой функции $y = |x|$ (с вершиной в точке $(0, 0)$), который был смещён на 2 единицы вниз по оси ординат. В результате такого смещения вершина графика окажется в точке $(0, -2)$, что полностью соответствует изображению. Для дополнительной проверки найдём точки пересечения с осью абсцисс, приравняв $y$ к нулю: $0 = |x| - 2 \implies |x| = 2$, что даёт $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ также видны на графике.

Ответ: Эта функция соответствует графику на рисунке.

2) $y = |x - 2|$

Данная функция описывает график базовой функции $y = |x|$, смещённый на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Вершина такого графика будет находиться в точке $(2, 0)$. Это не соответствует вершине графика на рисунке, которая находится в точке $(0, -2)$.

Ответ: Эта функция не соответствует графику на рисунке.

3) $y = |x + 2|$

Данная функция описывает график базовой функции $y = |x|$, смещённый на 2 единицы влево по оси абсцисс. Вершина такого графика будет находиться в точке $(-2, 0)$. Это не соответствует вершине графика на рисунке.

Ответ: Эта функция не соответствует графику на рисунке.

4) $y = 2 - |x|$

Эту функцию можно записать как $y = -|x| + 2$. Она описывает график базовой функции $y = |x|$, который был отражён симметрично относительно оси абсцисс (ветви направлены вниз) и затем смещён на 2 единицы вверх. Вершина такого графика будет находиться в точке $(0, 2)$, а его ветви будут направлены вниз, что противоречит изображению.

Ответ: Эта функция не соответствует графику на рисунке.

135 Задайте аналитически функцию, график которой изображён на рис. 87.

1) $y = |x + 3|$;

2) $y = |x| + 3$;

3) $y = |x| - 3$;

4) $y = |x - 3|$.

Рис. 87

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику на рисунке, проанализируем сам график и свойства каждой функции.

График на рисунке 87 представляет собой функцию модуля, смещенную относительно начала координат. Базовый график $y = |x|$ имеет вершину в точке $(0, 0)$. Вершина же изображенного графика находится в точке $(3, 0)$. Это означает, что график функции $y = |x|$ был смещен на 3 единицы вправо по оси $x$. Вертикального сдвига при этом не произошло. Преобразование сдвига графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вправо описывается формулой $y = f(x - c)$. В нашем случае, $f(x) = |x|$ и $c = 3$, следовательно, искомая функция имеет вид $y = |x - 3|$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = |x + 3|$

График этой функции получается путем сдвига графика $y = |x|$ на 3 единицы влево по оси $x$. Вершина такого графика будет находиться в точке $(-3, 0)$. Это не соответствует изображению.

2) $y = |x| + 3$

График этой функции получается путем сдвига графика $y = |x|$ на 3 единицы вверх по оси $y$. Вершина такого графика будет находиться в точке $(0, 3)$. Это не соответствует изображению.

3) $y = |x| - 3$

График этой функции получается путем сдвига графика $y = |x|$ на 3 единицы вниз по оси $y$. Вершина такого графика будет находиться в точке $(0, -3)$. Это не соответствует изображению.

4) $y = |x - 3|$

График этой функции получается путем сдвига графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо по оси $x$. Вершина будет в точке $(3, 0)$. Это полностью соответствует графику на рисунке. Для дополнительной проверки можно найти точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$ в уравнение: $y = |0-3| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$ также лежит на графике, что видно из рисунка. Следовательно, этот вариант является верным.

Ответ: 4) $y = |x - 3|$.

136 На рис. 88 изображён график функции $y = f(x)$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) > 0$?

1) $(-2; 2)$;2) $(6; 7]$;3) $(-2; 2) \cup (6; +\infty)$;4) $(6; +\infty)$.

Рис. 88

Для решения неравенства $f(x) > 0$ необходимо найти все значения аргумента $x$, при которых график функции $y = f(x)$ находится выше оси абсцисс (оси $Ox$).

Проанализируем график, представленный на рисунке:

1. Найдем точки пересечения графика с осью $Ox$. В этих точках значение функции равно нулю: $f(x) = 0$. Из графика видно, что это точки $x = -2$, $x = 2$ и $x = 6$.
2. Определим интервалы, на которых график функции расположен выше оси $Ox$:
   • На интервале от $x = -2$ до $x = 2$ график находится выше оси абсцисс. Поскольку неравенство строгое ($f(x) > 0$), то концы этого интервала не включаются. Получаем интервал $(-2; 2)$.
   • На интервале от $x = 2$ до $x = 6$ график находится ниже оси абсцисс, то есть $f(x) < 0$. Этот интервал не является решением.
   • При $x > 6$ график снова оказывается выше оси абсцисс. В точке $x=6$ значение функции равно нулю ($f(6)=0$), поэтому эта точка не включается в решение. Таким образом, получаем интервал $(6; +\infty)$.
3. Объединим все найденные интервалы, на которых выполняется условие $f(x) > 0$. Решением неравенства является объединение интервалов: $(-2; 2) \cup (6; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант под номером 3.

Ответ: 3) $(-2; 2) \cup (6; +\infty)$.

137 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. При каких значениях x выполняется неравенство $f(x) \le 0$?

1) $(-3; 1] \cup [5; 7)$;

2) $(-3; -1] \cup [3; 6];

3) $(-3; 0];

4) $[-3; 1] \cup [5; 7]$.

Рис. 89

Чтобы решить неравенство $f(x) \le 0$ по графику функции $y = f(x)$, необходимо найти все значения аргумента $x$, для которых соответствующие точки графика лежат на оси абсцисс (оси $x$) или ниже неё.

Рассмотрим график, представленный на рисунке. Область определения функции, судя по закрашенным точкам на концах, является отрезком $[-3; 7]$.

График функции находится на оси $x$ (то есть $f(x) = 0$) или ниже неё (то есть $f(x) < 0$) на двух промежутках.

1. Первый промежуток начинается в точке $x = -3$, где $f(-3) = 0$. Далее до точки $x = 1$, где $f(1) = 0$, график лежит ниже оси абсцисс. Следовательно, на всём отрезке $[-3; 1]$ выполняется условие $f(x) \le 0$.

2. На промежутке от $x = 1$ до $x = 5$ график расположен выше оси $x$, то есть $f(x) > 0$. Этот промежуток не входит в решение.

3. Второй промежуток начинается в точке $x = 5$, где $f(5) = 0$. Далее, до конца области определения в точке $x = 7$ (где, судя по графику, $f(7) = 0$), график функции лежит ниже оси абсцисс или касается её. Следовательно, на всём отрезке $[5; 7]$ также выполняется условие $f(x) \le 0$.

Объединяя найденные промежутки, мы получаем полное решение неравенства: $x \in [-3; 1] \cup [5; 7]$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

138 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. Укажите, при каких значениях $x$ функция возрастает.

1) $[-1; 1]$ и $[6; 7]$;
2) $[-1; 3]$;
3) $[1; 5]$;
4) $[-1; 3]$ и $[6; 7]$.

Рис. 89

Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция $y = f(x)$ возрастает, нужно найти на графике промежутки, на которых он идёт вверх при движении слева направо. Функция является возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Рассмотрим график функции, изображённый на рисунке, и проанализируем его поведение на различных участках:

• На отрезке от $x = -3$ до $x = -1$ график движется вниз, что соответствует убыванию функции. В точке $x = -1$ функция достигает своего локального минимума.
• На отрезке от $x = -1$ до $x = 3$ график движется вверх. Это означает, что на данном промежутке функция возрастает. В точке $x = 3$ находится локальный максимум.
• На отрезке от $x = 3$ до $x = 6$ график снова движется вниз, то есть функция убывает. В точке $x = 6$ находится еще один локальный минимум.
• На отрезке от $x = 6$ до $x = 7$ график снова движется вверх, что говорит о возрастании функции на этом промежутке.

Следовательно, функция возрастает на двух промежутках: $[-1; 3]$ и $[6; 7]$.

Сравнивая полученные промежутки с предложенными вариантами ответов, мы видим, что правильным является вариант под номером 4.

Ответ: 4) $[-1; 3]$ и $[6; 7]$.

139 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. Укажите, при каких значениях $x$ функция убывает.

1) $[-3; -1]$ и $[3; 6];

2) $(-3; -1)$ и $[5; 7];

3) $(-3; 1]$ и $[5; 7];

4) $(-3; -1]$ и $[5; 6]$.

Рис. 89

Чтобы определить промежутки, на которых функция убывает, необходимо найти на графике участки, где линия графика направлена вниз при движении слева направо. На таких участках большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Проанализируем график функции $y=f(x)$, изображённый на рисунке:

1. На отрезке от $x = -3$ до $x = -1$ график функции идёт вниз. Значение функции уменьшается от $y=0$ при $x=-3$ до локального минимума $y=-3$ при $x=-1$. Таким образом, на промежутке $[-3; -1]$ функция убывает.

2. На отрезке от $x = -1$ до $x = 3$ график функции идёт вверх. Это промежуток возрастания.

3. На отрезке от $x = 3$ до $x = 6$ график функции снова идёт вниз. Значение функции уменьшается от локального максимума $y=4$ при $x=3$ до локального минимума $y=-1$ при $x=6$. Таким образом, на промежутке $[3; 6]$ функция убывает.

4. На отрезке от $x = 6$ до $x = 7$ график функции идёт вверх. Это промежуток возрастания.

Следовательно, функция убывает на объединении промежутков $[-3; -1]$ и $[3; 6]$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Вариант ответа под номером 1 полностью совпадает с нашими выводами.

Ответ: 1) $[-3; -1]$ и $[3; 6]$

140 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. Укажите нули функции.

1) -3; 1; 5; 7;

2) 1; 5;

3) -3; 7;

4) -2; 1; 5.

Рис. 89

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. На графике функции нули соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек, в которых график пересекает или касается оси абсцисс ($Ox$).

Чтобы найти нули функции по её графику, необходимо определить $x$-координаты всех точек пересечения и касания графика с осью $Ox$.

Рассмотрим график, представленный на рисунке. Мы видим, что график функции пересекает или касается оси $Ox$ в следующих точках:

• Точка с абсциссой $x = -3$. В этой точке $y=0$.
• Точка с абсциссой $x = 1$. В этой точке $y=0$.
• Точка с абсциссой $x = 5$. В этой точке $y=0$.
• Точка с абсциссой $x = 7$. В этой точке $y=0$.

Таким образом, нулями данной функции являются числа -3, 1, 5 и 7. Сравнивая этот набор с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом ответа под номером 1.

Ответ: 1) -3; 1; 5; 7.

Рис. 89

141 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. Определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

1) $p = 4$;

2) $p = \pm 4$;

3) $p = -1$;

4) $p = -1, p = \pm 4$.

Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$. Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо найти такие значения $p$, при которых прямая $y=p$ пересекает изображенный на рисунке график ровно в одной точке.

Проанализируем график. Горизонтальная прямая будет иметь с ним ровно одну общую точку, если она будет касаться графика в точке его глобального максимума (самой высокой точке) или глобального минимума (самой низкой точке).

1. Из графика видно, что наивысшая точка функции (глобальный максимум) имеет ординату $y=4$. Прямая $y=4$ касается графика в этой единственной точке в вершине. Следовательно, при $p=4$ уравнение $f(x)=p$ имеет один корень.

2. Также из графика видно, что наинизшая точка функции (глобальный минимум) имеет ординату $y=-4$. Прямая $y=-4$ касается графика в этой единственной точке в самой низкой точке впадины. Следовательно, при $p=-4$ уравнение $f(x)=p$ также имеет один корень.

При других значениях $p$ количество точек пересечения будет иным. Например, при $p=-1$ прямая $y=-1$ пересекает график в трех точках, а при $p=0$ (ось абсцисс) — в четырех точках. Если $p > 4$ или $p < -4$, точек пересечения нет (0 корней).

Таким образом, уравнение $f(x)=p$ имеет ровно один корень только при $p=4$ и $p=-4$. В совокупности это можно записать как $p=\pm4$. Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант под номером 2.

Ответ: 2) $p = \pm4$