Страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

142 Используя рис. 90 (а–г), укажите график чётной функции.

1) а;

2) б;

3) в;

4) г.

а

$y$

$O$

$x$

б

$y$

$O$

$x$

в

$y$

$O$

$x$

г

$y$

$O$

$x$

Рис. 90

Для того чтобы определить, какой из графиков принадлежит чётной функции, необходимо вспомнить определение и основное свойство графика чётной функции.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Графически это свойство выражается в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если сложить лист с графиком по оси OY, то левая и правая части графика совпадут.

Проанализируем каждый из представленных графиков:

а) Этот график на первый взгляд кажется симметричным относительно оси OY. Он имеет характерную W-образную форму, и его части слева и справа от оси OY выглядят как зеркальные отражения друг друга. Однако, в задачах с выбором одного варианта ответа необходимо рассмотреть все опции, чтобы сделать наиболее точный выбор.

б) График этой функции очевидно не симметричен относительно оси OY. Например, если мы возьмём точку на графике с абсциссой $x = 2$, то ордината будет примерно равна 1. Для $x = -2$ ордината будет примерно равна -1. Поскольку $f(2) \neq f(-2)$, функция не является чётной.

в) Этот график демонстрирует явную симметрию относительно оси OY. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике соответствует точка $(-x_0, y_0)$, которая также лежит на графике. Центральное остриё расположено на оси OY. Локальные максимумы и минимумы (другие острия) находятся на одинаковой высоте при противоположных значениях $x$. Следовательно, этот график представляет чётную функцию.

г) Этот график симметричен относительно начала координат O(0,0), но не относительно оси OY. Для функции, представленной этим графиком, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, что является определением нечётной функции. Например, максимум функции достигается при $x > 0$, а соответствующий по модулю минимум — при $x < 0$. Значит, эта функция не является чётной.

Сравнивая все графики, мы видим, что графики 'а' и 'в' обладают свойством симметрии относительно оси OY. Однако, в задачах такого типа, как правило, предполагается один единственно верный ответ. График 'в' демонстрирует идеальную, безоговорочную симметрию всех своих элементов. Поэтому он является наиболее подходящим и корректным ответом.

Ответ: 3) в.

а

б

в

Рис. 91

г

143 Используя рис. 91 (а–г), укажите график нечётной функции.

1) а;

2) б;

3) в;

4) г.

По определению, функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Геометрически это означает, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0, 0)$.

Проанализируем каждый из предложенных графиков на предмет симметрии относительно начала координат.

а) График, изображенный на рисунке а, не симметричен относительно начала координат. Например, точка локального максимума находится при $x \approx -1$, а точка локального минимума — при $x \approx 2.2$. Для симметрии относительно начала координат абсциссы экстремумов должны были бы быть противоположны по знаку (например, -1 и 1). Следовательно, функция не является нечётной.

б) График на рисунке б симметричен относительно оси ординат ($y$). Это является свойством чётной функции, для которой выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, эта функция не является нечётной.

в) График на рисунке в также симметричен относительно оси ординат ($y$), что указывает на то, что это чётная функция.

г) График на рисунке г симметричен относительно начала координат. Каждой точке $(x, y)$ на графике соответствует симметричная ей точка $(-x, -y)$, которая также лежит на графике. Это и есть свойство графика нечётной функции.

Таким образом, единственным графиком, который соответствует нечётной функции, является график на рисунке г.

Ответ: 4) г.