Страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Последовательность Фибоначчи и её свойства.

Последовательность Фибоначчи — это числовая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Она названа в честь средневекового математика Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи.

Определение

Последовательность чисел Фибоначчи $F_n$ задается рекуррентным соотношением: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ с начальными значениями, как правило, $F_0 = 0$ и $F_1 = 1$.

Первые члены последовательности (начиная с $F_0$) выглядят так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ответ: Последовательность Фибоначчи определяется формулой $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ с начальными членами $F_0 = 0$ и $F_1 = 1$.

Связь с золотым сечением

Одним из самых известных свойств последовательности Фибоначчи является ее связь с золотым сечением. Отношение двух соседних членов последовательности Фибоначчи по мере возрастания их номеров стремится к константе, называемой золотым сечением (обозначается греческой буквой $\varphi$).

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339...$

Например, $89/55 \approx 1.61818$, а $144/89 \approx 1.61797$.

Ответ: Отношение последующего члена последовательности Фибоначчи к предыдущему стремится к золотому сечению $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Формула Бине

Существует явная формула для нахождения $n$-го члена последовательности Фибоначчи без необходимости вычислять все предыдущие. Эта формула называется формулой Бине.

$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$

где $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (золотое сечение), а $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = -\frac{1}{\varphi}$. Поскольку $|\psi| < 1$, с ростом $n$ второе слагаемое в числителе ($\psi^n$) стремится к нулю, поэтому $F_n$ можно приближенно вычислить как $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ и округлить до ближайшего целого.

Ответ: $n$-й член последовательности Фибоначчи можно найти по формуле Бине: $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)$.

Тождество Кассини

Это тождество связывает три последовательных члена последовательности Фибоначчи. Оно утверждает, что для любого $n > 0$:

$F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$

Например, для $n=6$: $F_5 \cdot F_7 - F_6^2 = 5 \cdot 13 - 8^2 = 65 - 64 = 1 = (-1)^6$.

Ответ: Тождество Кассини: $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$.

Свойства сумм

Существуют элегантные формулы для сумм членов последовательности Фибоначчи.

• Сумма первых $n$ членов: $\sum_{i=1}^{n} F_i = F_{n+2} - 1$.
  Например: $F_1+...+F_5 = 1+1+2+3+5 = 12$, а $F_7-1 = 13-1=12$.
• Сумма квадратов первых $n$ членов: $\sum_{i=1}^{n} F_i^2 = F_n F_{n+1}$.
  Например: $F_1^2+...+F_4^2 = 1^2+1^2+2^2+3^2 = 1+1+4+9 = 15$, а $F_4 F_5 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: Сумма первых $n$ членов равна $F_{n+2} - 1$, а сумма их квадратов равна $F_n F_{n+1}$.

Свойства делимости

Последовательность Фибоначчи обладает интересными свойствами, связанными с делимостью чисел.

• Если $m$ делит $n$, то $F_m$ делит $F_n$. Например, $3$ делит $6$, и $F_3=2$ делит $F_6=8$.
• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю их индексов: НОД$(F_m, F_n) = F_{\text{НОД}(m,n)}$.
  Например: НОД$(F_6, F_9) = $ НОД$(8, 34) = 2$. При этом НОД$(6,9)=3$, а $F_3=2$.

Ответ: Ключевые свойства делимости: если $m|n$, то $F_m|F_n$; НОД$(F_m, F_n) = F_{\text{НОД}(m,n)}$.

Теорема Цекендорфа

Эта теорема утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи, причем в этом представлении нет двух соседних чисел Фибоначчи. Такое представление называется представлением Цекендорфа.

Например, число 100 можно представить как $89 + 8 + 3 = F_{11} + F_6 + F_4$. В этой сумме нет соседних чисел Фибоначчи (например, $F_5$ и $F_6$).

Ответ: Теорема Цекендорфа гласит, что любое натуральное число имеет уникальное представление в виде суммы непоследовательных чисел Фибоначчи.

2. Описание реальных ситуаций с помощью прогрессий.

Прогрессии — это числовые последовательности, в которых каждый следующий член можно найти, зная предыдущий. Они являются мощным инструментом для описания и прогнозирования процессов, в которых изменения происходят по определенному, постоянному закону. Существует два основных вида прогрессий: арифметическая и геометрическая.

Арифметическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии. Примеры из жизни — это процессы с постоянным приростом или убылью.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Пример 1: Тренировки спортсмена

Бегун готовится к марафону. В первый день он пробежал 3 км. Каждый следующий день он увеличивал дистанцию на 1.5 км. Какую дистанцию он пробежит на 10-й день и какой общий путь он преодолеет за 10 дней тренировок?

В этой задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, где:

• Первый член прогрессии (дистанция в первый день) $a_1 = 3$ км.
• Разность прогрессии (ежедневное увеличение) $d = 1.5$ км.
• Количество дней (членов прогрессии) $n = 10$.

Сначала найдем дистанцию на 10-й день ($a_{10}$) по формуле n-го члена:

$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 3 + 1.5 \cdot 9 = 3 + 13.5 = 16.5$ км.

Теперь найдем общую дистанцию за 10 дней ($S_{10}$) по формуле суммы:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{3 + 16.5}{2} \cdot 10 = \frac{19.5}{2} \cdot 10 = 9.75 \cdot 10 = 97.5$ км.

Ответ: На 10-й день спортсмен пробежит 16.5 км, а всего за 10 дней он преодолеет 97.5 км.

Пример 2: Сбережения

Семья решила копить деньги на отпуск. В январе они отложили 5000 рублей, а в каждый последующий месяц откладывали на 500 рублей больше, чем в предыдущий. Какую сумму они отложат в декабре и сколько всего накопят за год?

Здесь также арифметическая прогрессия:

• $a_1 = 5000$ (сумма в январе).
• $d = 500$ (ежемесячное увеличение).
• $n = 12$ (количество месяцев в году).

Найдем сумму, отложенную в декабре ($a_{12}$):

$a_{12} = a_1 + d(12-1) = 5000 + 500 \cdot 11 = 5000 + 5500 = 10500$ рублей.

Найдем общую сумму накоплений за год ($S_{12}$):

$S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{5000 + 10500}{2} \cdot 12 = \frac{15500}{2} \cdot 12 = 7750 \cdot 12 = 93000$ рублей.

Ответ: В декабре семья отложит 10500 рублей, а всего за год они накопят 93000 рублей.

Геометрическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Геометрические прогрессии описывают процессы с процентным ростом или убылью, такие как банковские вклады, рост популяций или радиоактивный распад.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$)

Пример 1: Банковский вклад

Клиент положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых со сложным процентом (проценты начисляются на всю сумму, включая ранее начисленные проценты). Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Ежегодно сумма на счете увеличивается в $1 + \frac{10}{100} = 1.1$ раза. Это геометрическая прогрессия.

• Начальная сумма (можно считать "нулевым" членом) — 100 000.
• Первый член прогрессии (сумма через 1 год) $b_1 = 100000 \cdot 1.1 = 110000$.
• Знаменатель прогрессии $q = 1.1$.
• Нам нужно найти сумму через 5 лет, что соответствует 5-му члену прогрессии ($b_5$).

Используем формулу n-го члена:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 110000 \cdot (1.1)^4$

Либо, что проще для понимания, можно взять начальную сумму $B_0 = 100000$ и умножить ее на $q$ пять раз:

Сумма через 5 лет $= B_0 \cdot q^5 = 100000 \cdot (1.1)^5 = 100000 \cdot 1.61051 = 161051$ рубль.

Ответ: Через 5 лет на счете будет 161 051 рубль.

Пример 2: Рост популяции бактерий

В благоприятной среде одна бактерия делится на две каждые 20 минут. Если изначально в колбе была 1 бактерия, сколько их станет через 2 часа?

Количество бактерий удваивается каждый период, это геометрическая прогрессия.

• Начальное количество (первый член) $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = 2$ (удвоение).
• Найдем количество периодов деления. 2 часа = 120 минут. Количество 20-минутных периодов: $n_{периодов} = \frac{120}{20} = 6$.

Нам нужно найти количество бактерий после 6 циклов деления. Это будет 7-й член прогрессии, если считать $b_1=1$ начальным моментом.

Количество бактерий $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 1 \cdot 2^6 = 64$.

Ответ: Через 2 часа в колбе будет 64 бактерии.

179 Укажите прямые, которые имеют с параболой $y = x^2 + 4x + 3$ ровно одну общую точку.

1) $y = 0$;

2) $y = x - 2$;

3) $y = -1$;

4) $y = 2x + 2$.

Чтобы определить, какие из предложенных прямых имеют с параболой $y = x^2 + 4x + 3$ ровно одну общую точку, необходимо для каждой прямой решить систему уравнений. Если система, сведенная к квадратному уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеет единственное решение, то прямая и парабола имеют одну точку пересечения (касаются). Это соответствует случаю, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ полученного квадратного уравнения равен нулю.

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой: $x^2 + 4x + 3 = 0$.Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что означает, что прямая $y=0$ пересекает параболу в двух точках.Ответ: не подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = x - 2$.Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 4x - x + 3 + 2 = 0$, что равносильно $x^2 + 3x + 5 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая $y=x-2$ не имеет общих точек с параболой.Ответ: не подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = -1$.Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 4x + 4 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень. Это означает, что прямая $y=-1$ имеет с параболой ровно одну общую точку (является касательной).Ответ: подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = 2x + 2$.Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 2x + 1 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$.Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень. Это означает, что прямая $y=2x+2$ имеет с параболой ровно одну общую точку (является касательной).Ответ: подходит.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют прямые, указанные в пунктах 3 и 4.

Ответ: 3, 4.

180 Укажите прямые, которые имеют с параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ две общие точки.

1) $y = 2x$;

2) $y = 3 - x$;

3) $y = 1$;

4) $y = -50$.

Для того чтобы определить количество общих точек прямой и параболы, необходимо найти количество решений системы уравнений, состоящей из уравнений этой прямой и параболы. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения.

Приравняв выражения для $y$ из уравнения параболы $y = -x^2 + 4x - 3$ и уравнения каждой из прямых, мы получим квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Количество корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что означает, что прямая и парабола имеют две общие точки.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), что означает, что прямая и парабола имеют одну общую точку (касаются).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что означает, что прямая и парабола не имеют общих точек.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) y = 2x
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 2x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:
$-x^2 + 4x - 2x - 3 = 0$
$-x^2 + 2x - 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства вычислений:
$x^2 - 2x + 3 = 0$
Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-2, c=3$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая и парабола не имеют общих точек.
Ответ: данная прямая не имеет двух общих точек с параболой.

2) y = 3 - x
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 3 - x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x + x - 3 - 3 = 0$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-5, c=6$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках.
Ответ: данная прямая имеет две общие точки с параболой.

3) y = 1
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 1$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x - 3 - 1 = 0$
$-x^2 + 4x - 4 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-4, c=4$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что прямая касается параболы и имеет с ней только одну общую точку.
Ответ: данная прямая не имеет двух общих точек с параболой.

4) y = -50
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = -50$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x - 3 + 50 = 0$
$-x^2 + 4x + 47 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 4x - 47 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-4, c=-47$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-47) = 16 + 188 = 204$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках.
Ответ: данная прямая имеет две общие точки с параболой.

181 Укажите прямые, которые не имеют общих точек с параболой

$y = x^2 - 4x - 5$.

1) $y = -10$;

2) $y = 2x - 10$;

3) $y = -9$;

4) $y = x - 10$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных прямых не имеют общих точек с параболой $y = x^2 - 4x - 5$, необходимо для каждого варианта решить систему уравнений. Если система не имеет действительных решений, то прямая и парабола не пересекаются.

Пересечение графиков находится приравниванием их уравнений, что приводит к квадратному уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$. Наличие действительных корней у этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

- Если $D < 0$, действительных корней нет, и, следовательно, у прямой и параболы нет общих точек.

- Если $D \ge 0$, действительные корни есть, и у прямой и параболы есть одна или две общие точки.

Проверим последовательно каждый из предложенных вариантов.

1) y = -10;

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

$x^2 - 4x - 5 = -10$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Теперь вычислим дискриминант для этого уравнения, где $a=1, b=-4, c=5$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая $y = -10$ не имеет общих точек с параболой.

2) y = 2x - 10;

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = 2x - 10$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 2x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-6, c=5$):

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, значит, прямая пересекает параболу в двух точках.

3) y = -9;

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = -9$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 5 + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-4, c=4$):

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Это означает, что прямая касается параболы в одной точке (является касательной).

4) y = x - 10.

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = x - 10$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 5x + 5 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-5, c=5$):

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$

Поскольку $D = 5 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и прямая пересекает параболу в двух точках.

Дополнительный способ проверки для горизонтальных прямых:

Найдем вершину параболы $y = x^2 - 4x - 5$. Ветви параболы направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому в вершине находится точка минимума. Координата вершины по оси $x$: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Координата вершины по оси $y$: $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, минимальное значение функции равно -9. Любая горизонтальная прямая $y = c$, где $c < -9$, не будет иметь общих точек с параболой.Из предложенных вариантов:
- Прямая $y = -10$ (вариант 1) проходит ниже вершины, так как $-10 < -9$, и не имеет общих точек.
- Прямая $y = -9$ (вариант 3) проходит точно через вершину, имея с параболой одну общую точку.

Вывод: единственная прямая из предложенных, которая не имеет общих точек с параболой $y = x^2 - 4x - 5$, — это $y = -10$.

Ответ: 1

182 а) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 97), решите уравнение $ \frac{6}{x} = x + 5 $.

б) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 98), решите уравнение $ -\frac{6}{x} = x - 7 $.

Рис. 97

Рис. 98

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = x + 5$ графически, нужно найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$. На рисунке 97 изображены эти графики: гипербола и прямая.

Из графика видно, что функции пересекаются в двух точках.

1. Первая точка пересечения находится в первой координатной четверти. Ее координаты $(1; 6)$.
Проверим, подставив $x=1$ в оба уравнения функций:
Для $y = \frac{6}{x}$: $y(1) = \frac{6}{1} = 6$.
Для $y = x + 5$: $y(1) = 1 + 5 = 6$.
Координаты совпадают, следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения.

2. Вторая точка пересечения находится в третьей координатной четверти. Ее координаты $(-6; -1)$.
Проверим, подставив $x=-6$ в оба уравнения функций:
Для $y = \frac{6}{x}$: $y(-6) = \frac{6}{-6} = -1$.
Для $y = x + 5$: $y(-6) = -6 + 5 = -1$.
Координаты совпадают, следовательно, $x = -6$ также является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -6; 1.

б) Чтобы решить уравнение $-\frac{6}{x} = x - 7$ графически, нужно найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = -\frac{6}{x}$ и $y = x - 7$. На рисунке 98 изображены эти графики: гипербола и прямая.

Из графика видно, что функции пересекаются в двух точках.

1. Первая точка пересечения находится в четвертой координатной четверти. Ее координаты $(1; -6)$.
Проверим, подставив $x=1$ в оба уравнения функций:
Для $y = -\frac{6}{x}$: $y(1) = -\frac{6}{1} = -6$.
Для $y = x - 7$: $y(1) = 1 - 7 = -6$.
Координаты совпадают, следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения.

2. Вторая точка пересечения также находится в четвертой координатной четверти. Ее координаты $(6; -1)$.
Проверим, подставив $x=6$ в оба уравнения функций:
Для $y = -\frac{6}{x}$: $y(6) = -\frac{6}{6} = -1$.
Для $y = x - 7$: $y(6) = 6 - 7 = -1$.
Координаты совпадают, следовательно, $x = 6$ также является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 6.

183 a) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 99), решите систему уравнений $ \begin{cases} y = -\frac{6}{x} \\ y = 5 - x. \end{cases} $

Рис. 99

б) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 100), решите систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{8}{x}, \\ y = x + 8. \end{cases} $

Рис. 100

a) Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = 5 - x \end{cases} $графически, необходимо найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ (гипербола) и $y = 5 - x$ (прямая), изображённых на рис. 99.

На графике видно, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты по клеткам координатной плоскости.

Первая точка пересечения (назовём её A) имеет координаты $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба уравнения системы:
Для первого уравнения: $3 = \frac{6}{2}$, что верно ($3 = 3$).
Для второго уравнения: $3 = 5 - 2$, что верно ($3 = 3$).
Следовательно, пара чисел $(2, 3)$ является решением системы.

Вторая точка пересечения (назовём её B) имеет координаты $(3, 2)$. Выполним проверку:
Для первого уравнения: $2 = \frac{6}{3}$, что верно ($2 = 2$).
Для второго уравнения: $2 = 5 - 3$, что верно ($2 = 2$).
Следовательно, пара чисел $(3, 2)$ также является решением системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

б) Чтобы решить систему уравнений$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x + 8 \end{cases} $, нужно найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ (гипербола) и $y = x + 8$ (прямая), которые представлены на рис. 100.

Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках: одна в первой координатной четверти, другая — в третьей. Однако, в отличие от предыдущего случая, точки пересечения не находятся на пересечении линий сетки, а значит их координаты не являются целыми числами. С помощью графика мы можем найти только приблизительные значения.

Для нахождения точного решения решим систему уравнений аналитически. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$\frac{8}{x} = x + 8$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что выполняется для функции $y = \frac{8}{x}$):

$8 = x(x + 8)$

$8 = x^2 + 8x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 8x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 64 + 32 = 96$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{6}$

Таким образом, мы получили два значения для $x$:

$x_1 = -4 + 2\sqrt{6}$

$x_2 = -4 - 2\sqrt{6}$

Теперь найдём соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = x + 8$:

$y_1 = x_1 + 8 = (-4 + 2\sqrt{6}) + 8 = 4 + 2\sqrt{6}$

$y_2 = x_2 + 8 = (-4 - 2\sqrt{6}) + 8 = 4 - 2\sqrt{6}$

Полученные пары чисел и являются точными решениями системы. График на рис. 100 позволяет нам визуально подтвердить, что одно решение находится в первой четверти (где $x_1 \approx -4 + 2 \cdot 2.45 = 0.9$ и $y_1 \approx 4 + 2 \cdot 2.45 = 8.9$), а второе — в третьей (где $x_2 \approx -4 - 4.9 = -8.9$ и $y_2 \approx 4 - 4.9 = -0.9$).

Ответ: $(-4 + 2\sqrt{6}; 4 + 2\sqrt{6})$, $(-4 - 2\sqrt{6}; 4 - 2\sqrt{6})$.

184 a) На рисунке 101 изображена окружность $x^2 + y^2 = 20$ и прямая $y = x - 6$. Найдите координаты точки A.

б) На рисунке 102 изображена окружность $x^2 + y^2 = 2$ и прямая $y = 5x + 4$. Найдите координаты точки B.

Рис. 101

Рис. 102

а) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ y = x - 6 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 6)^2 = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x^2 - 12x + 36 = 20$

$2x^2 - 12x + 36 - 20 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение прямой $y = x - 6$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 6 = -4$. Координаты первой точки пересечения: $(2; -4)$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 - 6 = -2$. Координаты второй точки пересечения: $(4; -2)$.

На рисунке 101 точка А расположена левее и ниже точки В, следовательно, её абсцисса и ордината меньше. Сравнивая полученные точки $(2; -4)$ и $(4; -2)$, заключаем, что точка А имеет координаты $(2; -4)$.

Ответ: $A(2; -4)$.

б) Аналогично, для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ y = 5x + 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (5x + 4)^2 = 2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + 25x^2 + 40x + 16 = 2$

$26x^2 + 40x + 16 - 2 = 0$

$26x^2 + 40x + 14 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$13x^2 + 20x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 13 \cdot 7 = 400 - 364 = 36$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 13} = \frac{-20 \pm 6}{26}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{-20 - 6}{26} = \frac{-26}{26} = -1$

$x_2 = \frac{-20 + 6}{26} = \frac{-14}{26} = -\frac{7}{13}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 5x + 4$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 5(-1) + 4 = -5 + 4 = -1$. Координаты первой точки: $(-1; -1)$.

Если $x_2 = -\frac{7}{13}$, то $y_2 = 5(-\frac{7}{13}) + 4 = -\frac{35}{13} + \frac{52}{13} = \frac{17}{13}$. Координаты второй точки: $(-\frac{7}{13}; \frac{17}{13})$.

На рисунке 102 точка В расположена левее и ниже точки А. Сравнивая абсциссы $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{7}{13}$, видим, что $-1 < -\frac{7}{13}$. Следовательно, точка с абсциссой -1 является точкой В.

Ответ: $B(-1; -1)$.

185 На рисунке 103 изображены прямые $y = 2x - 1$, $y = 3x$, $y = 2x + 1$, $y = 2$ и парабола $y = x^2 + 2$. Используя рисунок, установите, какая из систем уравнений имеет два решения.

1) $ \begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 2x - 1. \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 2x + 1. \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 3x. \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 2. \end{cases} $

Рис. 103

Чтобы определить, какая система уравнений имеет два решения, необходимо найти, какой из графиков прямых пересекает график параболы $y = x^2 + 2$ в двух точках. Решения системы уравнений — это точки пересечения ее графиков.

1) { y = x² + 2, y = 2x - 1. }
Эта система описывает пересечение параболы $y = x^2 + 2$ и прямой $y = 2x - 1$. Прямая $y = 2x - 1$ пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. На графике видно, что эта прямая не имеет общих точек с параболой.
Ответ: 0 решений.

2) { y = x² + 2, y = 2x + 1. }
Эта система описывает пересечение параболы $y = x^2 + 2$ и прямой $y = 2x + 1$. Прямая $y = 2x + 1$ пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$. На графике видно, что эта прямая касается параболы, то есть имеет с ней ровно одну общую точку.
Ответ: 1 решение.

3) { y = x² + 2, y = 3x. }
Эта система описывает пересечение параболы $y = x^2 + 2$ и прямой $y = 3x$. Прямая $y = 3x$ проходит через начало координат $(0, 0)$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух различных точках.
Ответ: 2 решения.

4) { y = x² + 2, y = 2. }
Эта система описывает пересечение параболы $y = x^2 + 2$ и прямой $y = 2$. Прямая $y = 2$ — это горизонтальная линия, которая проходит через вершину параболы в точке $(0, 2)$. Таким образом, прямая касается параболы и имеет с ней одну общую точку.
Ответ: 1 решение.

Следовательно, система уравнений, имеющая два решения, представлена под номером 3.