Номер 181, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

181 Укажите прямые, которые не имеют общих точек с параболой

$y = x^2 - 4x - 5$.

1) $y = -10$;

2) $y = 2x - 10$;

3) $y = -9$;

4) $y = x - 10$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных прямых не имеют общих точек с параболой $y = x^2 - 4x - 5$, необходимо для каждого варианта решить систему уравнений. Если система не имеет действительных решений, то прямая и парабола не пересекаются.

Пересечение графиков находится приравниванием их уравнений, что приводит к квадратному уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$. Наличие действительных корней у этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

- Если $D < 0$, действительных корней нет, и, следовательно, у прямой и параболы нет общих точек.

- Если $D \ge 0$, действительные корни есть, и у прямой и параболы есть одна или две общие точки.

Проверим последовательно каждый из предложенных вариантов.

1) y = -10;

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:

$x^2 - 4x - 5 = -10$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Теперь вычислим дискриминант для этого уравнения, где $a=1, b=-4, c=5$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая $y = -10$ не имеет общих точек с параболой.

2) y = 2x - 10;

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = 2x - 10$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 2x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-6, c=5$):

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, значит, прямая пересекает параболу в двух точках.

3) y = -9;

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = -9$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 5 + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-4, c=4$):

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Это означает, что прямая касается параболы в одной точке (является касательной).

4) y = x - 10.

Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = x - 10$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - x - 5 + 10 = 0$

$x^2 - 5x + 5 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-5, c=5$):

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$

Поскольку $D = 5 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и прямая пересекает параболу в двух точках.

Дополнительный способ проверки для горизонтальных прямых:

Найдем вершину параболы $y = x^2 - 4x - 5$. Ветви параболы направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому в вершине находится точка минимума. Координата вершины по оси $x$: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Координата вершины по оси $y$: $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, минимальное значение функции равно -9. Любая горизонтальная прямая $y = c$, где $c < -9$, не будет иметь общих точек с параболой.Из предложенных вариантов:
- Прямая $y = -10$ (вариант 1) проходит ниже вершины, так как $-10 < -9$, и не имеет общих точек.
- Прямая $y = -9$ (вариант 3) проходит точно через вершину, имея с параболой одну общую точку.

Вывод: единственная прямая из предложенных, которая не имеет общих точек с параболой $y = x^2 - 4x - 5$, — это $y = -10$.

Ответ: 1