Номер 186, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

186 На рисунке 104 изображены прямые $y = x - 1$, $y = 3 - x$, $y = 4x + 1$, $y = 1$ и парабола $y = -x^2 + 2x$. Используя рисунок, установите, какая из систем уравнений не имеет решений.

1) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = x - 1. \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 4x + 1. \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 3 - x. \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 1. \end{cases} $

Рис. 104

Чтобы определить, какая из систем уравнений не имеет решений, необходимо проанализировать взаимное расположение графика параболы $y = -x^2 + 2x$ и графиков прямых, входящих в каждую систему. Система не имеет решений, если графики соответствующих функций не пересекаются. Решение системы уравнений — это точки пересечения графиков функций.

Сначала проанализируем параболу $y = -x^2 + 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Найдем координаты ее вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$

$y_v = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$, которая является точкой максимума для данной функции. На рисунке 104 эта парабола изображена.

Теперь рассмотрим каждую систему уравнений.

1) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = x - 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = x - 1$. Эта прямая возрастающая (угловой коэффициент $k=1$) и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. На рисунке видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Это означает, что система имеет два решения. Алгебраическая проверка подтверждает это: уравнение $-x^2 + 2x = x - 1$ или $x^2 - x - 1 = 0$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5 > 0$, следовательно, есть два различных корня.

Ответ: система имеет два решения.

2) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 4x + 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = 4x + 1$. Это возрастающая прямая ($k=4$) с y-пересечением в точке $(0, 1)$. Хотя на рисунке кажется, что эта прямая пересекает параболу дважды, проведем алгебраическую проверку для точности. Приравняем выражения для $y$: $-x^2 + 2x = 4x + 1$, что приводит к уравнению $x^2 + 2x + 1 = 0$, или $(x+1)^2 = 0$. Это уравнение имеет ровно один корень $x=-1$. Это означает, что прямая $y = 4x + 1$ является касательной к параболе в точке $(-1, -3)$. Следовательно, система имеет одно решение (одна точка пересечения). Рисунок в этой части является неточным.

Ответ: система имеет одно решение.

3) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 3 - x. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = 3 - x$. Это убывающая прямая ($k=-1$) с y-пересечением в точке $(0, 3)$. Вершина параболы (ее самая высокая точка) находится в точке $(1, 1)$. Прямая $y = 3-x$ проходит значительно выше вершины параболы (например, в точке $x=1$, $y=3-1=2$, что выше 1). Так как ветви параболы направлены вниз, а прямая находится над ее вершиной, их графики не пересекаются. Проверим алгебраически: $-x^2 + 2x = 3 - x \implies x^2 - 3x + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у графиков нет точек пересечения. Следовательно, данная система не имеет решений. (Следует отметить, что на рисунке убывающая прямая изображена неверно, так как она пересекает параболу).

Ответ: система не имеет решений.

4) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является горизонтальная прямая $y=1$. Эта прямая проходит через вершину параболы $(1, 1)$. Таким образом, прямая касается параболы в одной точке. Система имеет одно решение. Это корректно отображено на рисунке.

Ответ: система имеет одно решение.