Номер 183, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

183 a) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 99), решите систему уравнений $ \begin{cases} y = -\frac{6}{x} \\ y = 5 - x. \end{cases} $

Рис. 99

б) Используя графики функций, изображённые на координатной плоскости (рис. 100), решите систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{8}{x}, \\ y = x + 8. \end{cases} $

Рис. 100

a) Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = 5 - x \end{cases} $графически, необходимо найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ (гипербола) и $y = 5 - x$ (прямая), изображённых на рис. 99.

На графике видно, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты по клеткам координатной плоскости.

Первая точка пересечения (назовём её A) имеет координаты $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба уравнения системы:
Для первого уравнения: $3 = \frac{6}{2}$, что верно ($3 = 3$).
Для второго уравнения: $3 = 5 - 2$, что верно ($3 = 3$).
Следовательно, пара чисел $(2, 3)$ является решением системы.

Вторая точка пересечения (назовём её B) имеет координаты $(3, 2)$. Выполним проверку:
Для первого уравнения: $2 = \frac{6}{3}$, что верно ($2 = 2$).
Для второго уравнения: $2 = 5 - 3$, что верно ($2 = 2$).
Следовательно, пара чисел $(3, 2)$ также является решением системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

б) Чтобы решить систему уравнений$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x + 8 \end{cases} $, нужно найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ (гипербола) и $y = x + 8$ (прямая), которые представлены на рис. 100.

Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках: одна в первой координатной четверти, другая — в третьей. Однако, в отличие от предыдущего случая, точки пересечения не находятся на пересечении линий сетки, а значит их координаты не являются целыми числами. С помощью графика мы можем найти только приблизительные значения.

Для нахождения точного решения решим систему уравнений аналитически. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$\frac{8}{x} = x + 8$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что выполняется для функции $y = \frac{8}{x}$):

$8 = x(x + 8)$

$8 = x^2 + 8x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 8x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 64 + 32 = 96$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{6}$

Таким образом, мы получили два значения для $x$:

$x_1 = -4 + 2\sqrt{6}$

$x_2 = -4 - 2\sqrt{6}$

Теперь найдём соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = x + 8$:

$y_1 = x_1 + 8 = (-4 + 2\sqrt{6}) + 8 = 4 + 2\sqrt{6}$

$y_2 = x_2 + 8 = (-4 - 2\sqrt{6}) + 8 = 4 - 2\sqrt{6}$

Полученные пары чисел и являются точными решениями системы. График на рис. 100 позволяет нам визуально подтвердить, что одно решение находится в первой четверти (где $x_1 \approx -4 + 2 \cdot 2.45 = 0.9$ и $y_1 \approx 4 + 2 \cdot 2.45 = 8.9$), а второе — в третьей (где $x_2 \approx -4 - 4.9 = -8.9$ и $y_2 \approx 4 - 4.9 = -0.9$).

Ответ: $(-4 + 2\sqrt{6}; 4 + 2\sqrt{6})$, $(-4 - 2\sqrt{6}; 4 - 2\sqrt{6})$.