Номер 180, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

180 Укажите прямые, которые имеют с параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ две общие точки.

1) $y = 2x$;

2) $y = 3 - x$;

3) $y = 1$;

4) $y = -50$.

Для того чтобы определить количество общих точек прямой и параболы, необходимо найти количество решений системы уравнений, состоящей из уравнений этой прямой и параболы. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения.

Приравняв выражения для $y$ из уравнения параболы $y = -x^2 + 4x - 3$ и уравнения каждой из прямых, мы получим квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Количество корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что означает, что прямая и парабола имеют две общие точки.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), что означает, что прямая и парабола имеют одну общую точку (касаются).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что означает, что прямая и парабола не имеют общих точек.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) y = 2x
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 2x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:
$-x^2 + 4x - 2x - 3 = 0$
$-x^2 + 2x - 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства вычислений:
$x^2 - 2x + 3 = 0$
Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-2, c=3$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая и парабола не имеют общих точек.
Ответ: данная прямая не имеет двух общих точек с параболой.

2) y = 3 - x
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 3 - x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x + x - 3 - 3 = 0$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-5, c=6$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках.
Ответ: данная прямая имеет две общие точки с параболой.

3) y = 1
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = 1$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x - 3 - 1 = 0$
$-x^2 + 4x - 4 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-4, c=4$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что прямая касается параболы и имеет с ней только одну общую точку.
Ответ: данная прямая не имеет двух общих точек с параболой.

4) y = -50
Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-x^2 + 4x - 3 = -50$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-x^2 + 4x - 3 + 50 = 0$
$-x^2 + 4x + 47 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 4x - 47 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-4, c=-47$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-47) = 16 + 188 = 204$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках.
Ответ: данная прямая имеет две общие точки с параболой.