Номер 174, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

174 Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$. При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$.

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ выполним следующие шаги:
1. Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси $Oy$.

• Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.
• Ветви параболы направлены вверх.
• Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получаем $(x-2)(x+2)=0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

2. Теперь применим операцию взятия модуля. По определению, $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что для построения графика $y = |f(x)|$ нужно:

• Часть графика функции $y = f(x)$, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \geq 0$), оставить без изменений.
• Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), симметрично отразить относительно оси $Ox$.

3. Применительно к нашему случаю, $y = |x^2 - 4|$:

• На интервалах $(-\infty; -2]$ и $[2; \infty)$, где $x^2 - 4 \geq 0$, график совпадает с параболой $y = x^2 - 4$.
• На интервале $(-2; 2)$, где $x^2 - 4 < 0$, график получается отражением части параболы $y = x^2 - 4$ относительно оси $Ox$. Это будет график функции $y = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4$. Эта часть представляет собой дугу параболы с ветвями вниз и вершиной в точке $(0; 4)$.

Итоговый график состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4$ на лучах $(-\infty; -2]$ и $[2; \infty)$, и дуги параболы $y = -x^2 + 4$ на интервале $(-2; 2)$.
Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 - 4$, у которой часть, лежащая ниже оси абсцисс, симметрично отражена относительно этой оси. Ключевые точки графика: локальный максимум в $(0; 4)$ и точки излома (минимумы) в $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Для ответа на этот вопрос нужно определить, сколько точек пересечения имеет график функции $y = |x^2 - 4|$ с горизонтальной прямой $y = m$ при различных значениях параметра $m$. Проанализируем количество пересечений, мысленно двигая прямую $y = m$ вдоль оси $Oy$ снизу вверх.

• Если $m < 0$, прямая $y=m$ находится ниже оси $Ox$. Так как $y = |x^2 - 4| \geq 0$, общих точек нет. Количество решений: 0.
• Если $m = 0$, прямая $y=m$ совпадает с осью $Ox$. График пересекает ось в точках $x=-2$ и $x=2$. Количество решений: 2.
• Если $0 < m < 4$, прямая $y=m$ пересекает как отраженную часть параболы, так и исходные ветви. Количество решений: 4.
• Если $m = 4$, прямая $y=m$ проходит через вершину отраженной параболы в точке $(0; 4)$ и пересекает две ветви исходной параболы. Уравнение $|x^2 - 4| = 4$ имеет решения $x^2 - 4 = 4$ (откуда $x^2=8$, $x = \pm 2\sqrt{2}$) и $x^2 - 4 = -4$ (откуда $x^2=0$, $x=0$). Таким образом, получаем три точки пересечения. Количество решений: 3.
• Если $m > 4$, прямая $y=m$ пересекает только две удаляющиеся вверх ветви параболы $y=x^2-4$. Количество решений: 2.

Следовательно, график функции имеет с прямой $y=m$ ровно три общие точки только при одном значении $m$.
Ответ: $m = 4$.