Номер 175, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

175. Постройте график функции $y = x^2 + 3$. При каких значениях $k$ график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Постройте график функции $y = x^2 + 3$.

Функция $y = x^2 + 3$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

График данной функции можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_в = y(x_в) = 0^2 + 3 = 3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0; 3)$. Осью симметрии является ось Oy ($x=0$).

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

Отметив вершину и точки из таблицы на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = x^2 + 3$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 3$ построен. Это парабола с вершиной в точке $(0; 3)$ и ветвями, направленными вверх, проходящая, например, через точки $(-1; 4)$ и $(1; 4)$.

При каких значениях k график данной функции будет иметь с прямой y = kx одну общую точку?

Общие точки графика функции $y = x^2 + 3$ и прямой $y = kx$ являются решениями системы уравнений:
$\begin{cases} y = x^2 + 3 \\ y = kx \end{cases}$

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^2 + 3 = kx$

Перенесем все члены в левую часть и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно переменной $x$:
$x^2 - kx + 3 = 0$

Графики будут иметь одну общую точку в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$ для нашего уравнения, где $a=1$, $b=-k$, $c=3$:
$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = k^2 - 12$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:
$k^2 - 12 = 0$
$k^2 = 12$
$k = \pm\sqrt{12}$
$k = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$

Таким образом, прямая $y=kx$ имеет одну общую точку с параболой $y=x^2+3$ (является ее касательной) при $k = 2\sqrt{3}$ и $k = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $k = \pm 2\sqrt{3}$.