Номер 172, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

172 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x - 2, & x < -2; \\ -x^2 + 2x + 8, & x \ge -2. \end{cases}$

При каких значениях $p$ график данной функции имеет с прямой $y = p$ две общие точки?

Постройте график функции $y = \begin{cases} -x - 2, & x < -2; \\ -x^2 + 2x + 8, & x \ge -2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Построим график каждой части на ее промежутке определения.

1. При $x < -2$ функция имеет вид $y = -x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как область определения — луч $(-\infty; -2)$, то графиком будет луч.

Для построения найдем координаты двух точек. Возьмем граничную точку $x = -2$. В этой точке будет «выколотая» точка, так как неравенство строгое:$y(-2) = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Координаты точки $(-2, 0)$.

Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -3$:$y(-3) = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Координаты точки $(-3, 1)$.

Итак, на промежутке $(-\infty; -2)$ график представляет собой луч, выходящий из выколотой точки $(-2, 0)$ и проходящий через точку $(-3, 1)$.

2. При $x \ge -2$ функция имеет вид $y = -x^2 + 2x + 8$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение $x_0=1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, значит, вершина параболы принадлежит нашему графику.

Найдем ординату вершины $y_0$:

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Координаты вершины параболы: $(1, 9)$.

Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x = -2$:

$y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -4 - 4 + 8 = 0$.

Точка $(-2, 0)$ является точкой «стыка» двух частей графика. Поскольку значение в этой точке совпадает со значением, к которому стремится первая часть, график является непрерывным. Точка $(-2, 0)$ принадлежит этой части графика.

Для более точного построения найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции):

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Обе точки принадлежат промежутку $x \ge -2$.

Итак, на промежутке $[-2; +\infty)$ график — это часть параболы с вершиной в точке $(1, 9)$, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

При каких значениях p график данной функции имеет с прямой y = p две общие точки?

Прямая $y=p$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Количество общих точек этой прямой с графиком функции — это количество решений уравнения $y(x) = p$. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $p$, используя построенный график.

• При $p > 9$ (прямая выше вершины параболы), прямая $y=p$ пересекает только луч $y=-x-2$. Одна общая точка.
• При $p=9$ (прямая проходит через вершину параболы), прямая касается параболы в точке $(1, 9)$ и пересекает луч $y=-x-2$ в одной точке. Две общие точки.
• При $0 < p < 9$ (прямая между вершиной параболы и точкой стыка), прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Три общие точки.
• При $p=0$ (прямая проходит через точку стыка), прямая пересекает параболу в двух точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$. С лучом $y=-x-2$ на интервале $x<-2$ пересечений нет. Две общие точки.
• При $p < 0$ (прямая ниже точки стыка), прямая пересекает параболу в одной точке (с абсциссой большей 4) и не пересекает луч. Одна общая точка.

Следовательно, график функции имеет с прямой $y=p$ ровно две общие точки при $p=9$ и при $p=0$.

Ответ: $0; 9$.